Euklidischer Ring,Körper

Question

Hallo ,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen komme nicht weiter?

Es sei R ein Integritätsbereich.Zeigen Sie,dass folgende Aussagen äquivalent sind:
 
(i) Der Ring R ist ein Körper
(ii) Der Polynomring R (t) ist ein euklidischer Ring
(iii) der Polynomring R(t) ist ein Hauptidealring
(Hinweis: Für r ∈ R ohne 0 betrachte das Idel (r,t) in R (t)



Ich weiss, dass jeder euklidischer Ring ein Hauptidelring ist. Ich weiss auch wie die definition vom euklidischen Ring heißt ,aber kann mit ihr nichts anfangen.

Danke

Answer 1

(i)=>(ii) Benutze die Grad-Funktion und Polynomdivision

(iii)=>(i) Hinweis: es gibt ein Polynom f mit r=af und t=bf, damit ist 0=deg(r)=deg(a)+deg(f) also f vom Grad 0, also aus R. Damit ist deg(b)=1: t=(ct+d)f=cft+df. Mit Koeffizientenvergleich ist cf=1, also f Invertierbar. Damit (r,t)=(1), also r invertierbar.