Kurvendiskussion exponentieller Funktionsschar. Wo ist der Fehler in der Ableitung?

Question

ich brauche schon wieder Hilfe.

Folgendes Problem: Bei einer exponentiellen Funktionsschar sollen wir bis zur dritten Ableitung ableiten, aber ich befürchte, dass ich nicht mal die erste richtig habe.

Ausgangsfunktion: f_t (x) = t²x - e^tx  hier wende ich Produktregel an (soweit noch richtig?)

-> f_t ' (x) = [t² * (-e^tx )] + [(-te^tx ) * t²x] => t² * e^tx - (te^tx * t²x) => e^tx (t² - t³ x)

Stimmt das soweit oder hab ich hier schon murks gemacht?

Danke

LG

Answer 1

ist die Funktion tatsächlich \( f_t(x) = t^2x-e^{tx} \)?

Dann hast du da eine Differenz stehen und kein Produkt, also brauchst du auch keine Produktregel anzuwenden und kannst die einzelnen Terme für sich ableiten.

\( f_t'(x) = t^2 - te^{tx} \)

Gruß

Comments

Ähm okay klingt logisch.

Aber für F ' ' fällt ja t ² weg. Und ich leite nur noch -te^tx ab. Wäre dann also

F '' (x) = 1 * (-te^tx) + (-te^tx) -> e^tx (1-t)

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Nein, du leitest nach x ab, t behandelst du wie irgendeine Zahl.

\( f_t''(x) = -t^2e^{tx} \)

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daraus folgt aber jetzt -t³ * e^tx

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Als dritte Ableitung? Ja.

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Darf ich dich noch mehr Löcher in den Bauch fragen?

Wenn ich Extrempunkte berechnen will ist die notwendige Bedingung f '(x) = 0
In diesem Fall müsste ich also die Funktion t² - te^tx= 0 setzen

Bei der normalen Kurvendiskussion hatten wir dann die Funktion "in 2 geteilt", wenn ich dies hier auch machen würde, wäre dies
1) t²= 0 -> 0 und 2) -te^tx= 0 geteilt durch (-t) -> e^tx = 0 aber nun hängt es wieder.
Ich muss ja etwas raus bekommen, was ich in die Ausgangsfunktion einsetzen kann, damit ich einen Punkt erhalte.

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Das "zweiteilen" funktioniert nur wenn du ein Produkt hast das gleich Null sein soll. Hier muss man einfach nur die Gleichung umformen und nach x auflösen. Da \( t \neq 0 \)

$$ t^2 - te^{tx} = 0 $$

$$  te^{tx} = t^2 $$

weil\( t \neq 0 \):

$$ e^{tx} = t$$

$$tx = \ln(t)$$

$$ x = \frac{\ln(t)}{t} $$

Man könnte natürlich auch \(t\) am Anfang ausklammern und das "zweiteilen" durchführen. Bringt dich aber zu dem selben Punkt.