Wie lauten die ersten drei Ableitungen von von F(x) =(x^3/t^{2} ) - (4/t)x^2 + 4 x?

Question

Ich brauch de die ersten drei Ableitungen der gegebenen Funktion, habe als erste Ableitung

(3x^{2}t^{2} - 2tx^{3}) / t^{4}) - 8xt + 4

ist das soweit richtig?

Answer 1

Also vorweg:

Die Ableitung von f(x) = xⁿ  ist f'(x) = nx^n-1

Wenn wir jetzt deine Funktion betrachten machen wir das mit jedem Summanden (Summenregel), da wir nach x ableiten interessiert uns das t reichlich wenig, wir schleppen dies einfach die ganze Zeit mit uns mit:

Du kannst $$\frac { { x }^{ 3 } }{ { t }^{ 2 } }$$ auch so schreiben: $$ \frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } { x }^{ 3 }$$

Nun aber zum Ableiten:

$$ f(x)=\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } { x }^{ 3 }-\frac { 4 }{ { t } } { x }^{ 2 }+4x\\ f'(x)=\frac { 3 }{ { t }^{ 2 } } { x }^{ 2 }-\frac { 8}{ { t } } { x }+4 $$

Jetzt musst du die Ableitung wieder ableiten. Und dann nochmal, immer nach dem Schema!

(Falls du zusammengesetzte Funktionen hast, zum Beispiel 2 Faktoren darfst du das nicht so machen, dies gilt nur bei Summanden)

Comments

Wirklich? Vielen Dank, wird ich mir merken, ich hab mir da was ganz schön kompliziertes nach der Quotientenregel zusammengerechnet gehabt... :o

Zuletzt habe ich das ganze vereinfacht indem ich einfach die Ausgangsfunktion mit t^{2} multipliziert habe,sodass keine Quotienten mehr vorhanden sind. Habe dann

f ' (x) = 3x^{2}
f '' (x) = 6x
und f "' (x) = 6

rausgekriegt.

Danke

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Das ist so nicht ganz richtig, ich denke mal es ist gefordert, dass du das in Abhängigkeit von t berechnest. Außerdem fehlt bei deinen Ableitungen noch ein Teil. Die nächste Ableitung würde dann so aussehen:

$$ f''(x)=\frac { 6 }{ { t }^{ 2 } } { x }+\frac { 8 }{ { t } } $$

Wenn du t² multiplizieren möchtest musst du das auch auf der linken Seite multiplizieren, sprich t²*f(x) und das die ganze zeit so mitnehmen, da es ja eine Gleichung ist. Und wenn man bei einer Gleichung auf der rechten Seite etwas macht, dann muss man es auch auf der anderen Seite machen, sonst ist das keine Gleichung mehr.

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Ach okay :/
Habe deinen Lösungsweg schon nachvollziehen können, ist das denn der einfachste Weg bei Quotienten in der Summe? Also mit Ableitungen an sich komme ich wohl zurecht, aber alleine das x^3 / t^2 macht mir schon Probleme :/

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ja daran wirst du dich schon noch gewöhnen :D


Wenn du jetzt die Nullstellen(Schnittpunkte mit X Achse) berechnen willst, dann kannst du das mit t² multiplizieren, da ja f(x)=0 sein soll. Also setzt du für f(x) 0 ein.
t² * f(x)
t² * 0 = 0 sind. Folglich ändert sich ja nichts.
Aber das gehört ja in deine andere Topic

Ja das ist der einfachste und fehler unanfälligste weg, das ist ja nichts anderes als Grundlage der Bruchrechnung. Merk dir einfach wenn du ein X im Zähler (also oben drin) hast, dann kannst du das ohne Probleme umschreiben, nämlich so:

$$\frac { { x }^{ 3 } }{ { t }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } { x }^{ 3 }$$
Vielleicht nochmal mit einem trivialeren Term Schritt für Schritt:
$$\frac { x }{ 2 } =\quad \frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { x }{ 1 } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \cdot x\quad =\frac { 1 }{ 2 } x$$ Denn: Multiplikation von Brüchen: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner