Umkehrfunktion bilden und berechnen

Question

Hallöle :)

Ich habe mal eine Frage zu dem Thema "Umkehrfunktionen". Ich weiß, wie man eine bildet, aber bin mir bei der folgenden Aufgabe nicht sicher was genau ich da machen muss.

Gegebe Sei f: R → R mit f(x) = x³ * Wurzel(x²+1)

(1) Geben Sie den Definitionsbereich von der Umkehrfunktion an.

Der Definitionsbereich bleibt doch eigentlich, oder? Ich wüsste sonst nicht was ich bei lim einsetzen sollte, also wogegen ich den laufen lassen soll :D

Ermitteln Sie (f^-1) ' (Wurzel(2)) Hinweis: Berechnen Sie f(1)

Und hier weiß ich leider gar nicht was ich machen soll.
Habe erst einmal f^-1 gebildet, aber da bin ich mir beim Ergebnis nicht sicher (8.Wurzel(x²+1))
Und wollte dann die Ableitung bilden und Wurzel(2) in die Ableitung setzen, aber mich verwirrt der Hinweis irgendwie!

Answer 1

Der Def. bereich ist der Werteberecih von f und das ist wohl ganz IR;
denn die Funktion ist monoton steigend (Abl. >= 0 ) also umkehrbar.

Deine Umkehrfunktion stimmt nicht, und die brauchst du auch nicht.
Das soll bestimmt nach der Formel

f ^{-1} ' (y) =   1  /  f ' (x)   gehen.

mit dem Hinweis f(1) = .... = wurzel(2)
also ist

f ^{-1} ' (wurzel(2)) =   1  /  f ' (1)
Dann brauchst du also nur noch f ' (1) ausrechnen und einsetzen.

Comments

Achso :) dankeschön!
Und diese Formel kann ich für jedes beliege x anwenden wenn so eine Aufgabe mit einem anderen Wert kommt?

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Hier war es ja durch den Tipp recht einfach das x zu finden.

Wäre nur die Aufgabe  berechne f ^{-1} ' (wurzel(2)) gewesen, hätte ma erst

mal schauen müssen, für welches x denn f(x) = wurzel(2) herauskommt.

also  x^3 * wurzel( x^2 + 1) = wurzel (2 )     lösen.