Quadratische Gleichungen mit Parametern: Bsp. 3a²x²+4ax+1 = 0

Question

Da ich morgen in der Schule zwei aufgaben vorstellen muss und diese nicht versteh wäre es nett wenn ihr mir weiter helfen könntet!

1. Welchen Wert muss die Variable a annehmen, damit die Gleichung zwei (eine) Lösungen besitzt! Gib die Lösungen an!

3a²x²+4ax+1 = 0

2. Berechne diejenigen Werte von k, für welche die gegebene Gleichung genau eine Lösung besitzt! Berechne dann jeweils die Lösung der Gleichung für die bestimmten Werte.

x(3x + 4k) = 15 + 10kx + 18k

Answer 1

1. Das lässt sich leicht über die sogenannte Diskrimante bestimmen. Das ist der Term, der unter der Wurzel steht.
Erstmal bringt man die Gleichung in die pq-Form:

x² + 4/(3a) x + 1/(3a²) = 0

Dann steht unter der Wurzel D = 4/(9a²) - 1/(3a²) = 1/(9a²)

Nun ist eine quadratische Gleichung eindeutig lösbar, wenn die Diskrimante 0 ist, offensichtlich gibt es aber keine Zahl a, für die 1/(9a²) = 0 gilt. In allen anderen Fällen ist die Diskriminante aber positiv, also existiert dann immer eine Lösung, nämlich:

x_1/2 = -2/(3a) ± √D = -2/(3a) ± 1/(3a)

x₁ = -1/a
x₂ = -1/(3a)

2. Das macht wir hier ganz genauso. Erstmal überführen wir die Gleichung in die Normalform:

x(3x + 4k) = 15 + 10kx + 18k

3x^2 + 4kx = 15 + 10kx + 18k  |-15 - 10kx - 18k

3x^2 - 6kx - 15 - 18k = 0  |:3

x^2 - 2kx - (5+6k) = 0

Die Diskriminante lautet:

D = k^2 + 5+6k

mit der Lösung:

x_1/2 = k ± √(k^2 + 5+6k)

Genau eine Lösung existiert, wenn die Diskriminante 0 ist, also für

0 = k^2 + 6k + 5  |+4

4 = (k+3)^2

k_1/2 = -3 ± 2

Also für k₁ = -5, k₂ = -1
Wenn die Wurzel 0 ergibt, dann gilt außerdem x = k, also ergeben sich die ersten beiden Fälle:

k = -5 ⇒ x = -5
k = -1 ⇒ x = -1

Da es sich bei der Diskriminante um eine nach unten oben geöffnete Parabel in k handelt, ist sie zwischen -5 und -1 negativ, dort existieren keine Lösungen, weil die Wurzel aus negativen Zahlen über ℝ nicht definiert ist.

Für x<-5 oder x>-1 gibt es dann zwei Lösungen:

x_1/2 = k ± √(k^2 + 5+6k)