Ungleichung lösen |(n^2/(2n^2-2)) - 1/2| < 0,01

Question

|(n^2/(2n^2-2)) - 1/2| < 0,01

Ich habe schon einiges versucht komme aber nicht auf die richtige Lösung.

Ist es richtig wenn ich im 1.schritt 1/2 addiere und dann im 2.schritt mit dem nenner multipliziere?

Dann habe ich das hier stehen:

|n^2| < 0,51 (2n^2-2)

Answer 1

|(n^2/(2·n^2 - 2) - 1/2| < 0.01

|(1/(2·(n^2 - 1))| < 0.01

Der Nenner ist für n > 1 immer Positiv. Daher können Betragsstriche weggelassen werden

(1/(2·(n^2 - 1)) < 0.01

1 < 0.02·(n^2 - 1)

n^2 - 1 > 50

n^2 > 51

n > 7.1

Comments

was hast du von der 1. zur 2. zeile gemacht? verstehe ich nicht ganz

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Brüche werden zum addieren oder subtrahieren gleichnamig gemacht. Dann kann man die Zähler addieren oder subtrahieren. Der gemeinsame Nenner bleibt dabei erhalten.

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ja das weiß ich ich, aber ich komme nicht auf dein ergebnis

ich habe so gleichnamig gemacht:  (n^2 (2n^2 - 2) -1/2) / 2n^2 - 2

ist das richtig, wenn ja, was ist der nächste schritt?

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hat sich erledigt, hab wohl falsch gleichnamig gemacht

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hab noch eine frage. wie man auf die 49 kommt. muss man nicht +1 rechnen und kommt dann auf 51?

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ja. 51 ist richtig. ich verbesser das mal.

Answer 2

So einfach geht es mit Beträgen nicht. Beispiel:   | x | < 3 bedeutet eigentlich 
-3 < x < 3.
Es sind also zwei Ungleichungen, die beide erfüllt sein müssen:
-3 < x und x < 3.
Dasselbe geht auch in komplizierter:

-0,01  < (n^2/2n^2-2))-1/2  < 0,01

Erst jetzt erhältst du zwei Ungleichungen, die du einzeln umformen kannst. Dann funktioniert dein Schritt 1.
Achtung bei deinem 2. Dies funktioniert nur, wenn 2n^2-2 > 0 ist.
Sonst kehrt sich < zu > um.

Comments

ich habe jetzt n^2/(2n^2-2) - 1/2 > 0

dort habe ich 1>0 heraus also darf ich jetzt die ungleichen ganz normal nach n auflösen.

aber mein ergebnis dort ist falsch, nämlich : 1<0

Muss ich jetzt den 2.fall auch durchrechnen und mein ergebnis aus dem 1.fall vernachlässigen?

Answer 3

?

sollst du herausfinden, ab welcher natürlichen Zahl n° alle weiteren

Glieder der Folge weniger als 0,01 vom Grenzwert entfernt liegen ?

| n² /(2 n² -2) -1/2 | < 0,01

1/2 * | ( n² - (n²-1))/ ( n² -1) | = 1/2 * | 1 / ( n² -1) |< 0,01

wenn n in N , dann ist für n>1  der Nenner  ( n² -1) positiv - und du kannst

die Betragszeichen weglassen :

=>  50 < ( n² -1)

=> n²  > 51

also gilt die Ungleichiung  für alle n> 7

.. dh mit  n° =8  ist die oben gestellte Frage beantwortet

alles klar?