Inhomogene Differentialgleichung: y'(x)+3xy(x)=5x

Question

y'(x)+3xy(x)=5x

brauche bitte hilfe um auf y zu kommen

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Den inhomogenen Teil ist separierbar. Du kannst die Variablen trennen.

y'(x)+3xy(x)=0

dy/dx = -3xy

dy/y = -3xdx      | ∫

ln(y) = -1.5x^2 + C   | e^ (___)

y = e^{-1.5x^2 + C} = e^C*e^{-1.5x^2} = D*e^{-1.5x^2}

Jetzt brauchst du noch eine spezielle Lösung für den inhomogenen Fall.

Answer 1

y'(x)+3xy(x)=5x  

Wir brauchen zunächst einmal eine Lösung der homogenen DGL:
y'(x)+3xy(x)=0

y'(x)=-3xy(x)                     Jetzt Trennung der Variablen :

y'(x) /y(x) =-3x               Beide Seiten integrieren :
ln(y) = -(3/2)x^2+c

y= c* e^{-3/2x^2}

Jetzt können wir die Variaton der Konstanten anwenden :

Wir betrachten : y= C(x) *e^{-3/2x} und setzen das in die inhomogene DGL ein :

Zunächst einmal :
y'= C(x)*(-3x)*e^{-3/2x^2} +C'(x)*e^{-3/2x^2}

Also einsetzen.

C(x)*(-3x)*e^{-3/2x} +C'(x)*e^{-3/2x} + 3x* C(x) *e^{-3/2x} =5x

Jetzt kürzt sich ein wenig weg:

=
C'(x)*e^{-3/2x} +  =5x

C'(x) = 5x*e^{-3/2x}

Jetzt musst du wieder beide Seiten integrieren (Partielle Integration) . Dann hast du C(x) . Das setzt du dann in oben in die Lösung der homogenen ein und erhältst eine Lösung deiner DGL.