Winkelhaus: Berechnen Sie den Schattenpunkt P' der Antennenspitze P

Question

Aufgabe Winkelhaus:

Ein Winkelhaus hat die dargestellten Maße.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten von \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{E} \) und \( \mathrm{F} \).

b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Firstgeraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{BD}} \) und \( \mathrm{gFD} \). Hinweis: Die Richtungsvektoren sind einfach zu bestimmen.

c) Berechnen Sie den Punkt D als Schnittpunkt der Firstgeraden \( g_{B D} \) und \( g_{F D} \).

d) Wie lautet die Gleichung der Kehlgeraden \( g_{DC} \)? Wie lang ist die Dachkehle \( \overline{\mathrm{DC}} \) ?

e) Welchen Winkel bildet die Dachfläche \( \mathrm{E}_{2} \) zwischen der Kehle \( \overline{\mathrm{CD}} \) und der Traufe \( \overline{\mathrm{CE}} \) ?

f) Die Dachfläche \( \mathrm{E}_{2} \) soll komplett mit Solarzellen belegt werden. Wie groß ist die zu belegende Fläche? (Hinweis: Zerlegen Sie die Dachfläche in zwei Dreiecke und verwenden Sie die vektorielle Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks.)

g) Die Spitze der abgebildeten Antenne hat die Koordinaten \( \mathrm{P}(-2|5| 12,5) \). In welchem Punkt \( Q \) durchstößt die Antenne die Dachfläche \( E_{1} \) ? (Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung der Ebene \( \mathrm{E}_{1} \) auf.)

h) Sonnenlicht in Richtung des Vektors \( \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{r}-4 \\ 2 \\ -7\end{array}\right) \) erzeugt einen Schatten der Antenne auf der Dachfläche \( \mathrm{E}_{1} \). Berechnen Sie den Schattenpunkt \( \mathrm{P}^{\prime} \) der Antennenspitze \( \mathrm{P} \).

i) Die Auslegerspitze des Kranes hat die Koordinaten K(11|12|26). Von dort soll ein Seil zur Dachfläche \( \mathrm{E}_{2} \) gespannt werden. Wie lang muss das Seil mindestens sein?

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Können Sie bitte c) lösen?

Answer 1

h)

P' = [-2, 5, 12.5] + r·[-4, 2, -7] = [- 4·r - 2, 2·r + 5, 12.5 - 7·r]

in E1 einsetzen

3·(2·r + 5) + 2·(12.5 - 7·r) = 32 --> r = 1

P' = [-2, 5, 12.5] + 1·[-4, 2, -7] = [-6, 7, 5.5]

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Können Sie bitte c) lösen?

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c)

B(0 | 4 | 10) ; F(-11 | 16 | 10)

D = [0, 4, 10] + r·[-1, 0, 0] = [-11, 16, 10] + s·[0, -1, 0] --> r = 11 ∧ s = 12

D = [0, 4, 10] + 11·[-1, 0, 0] = [-11, 4, 10]

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Könnten Sie bitte noch i) lösen? Bei mir lautet i) wie folgt: Die Auslegerspitze des Kranes hat die Koordinaten K(-5/12/20). Von dort soll ein Seil zur Dachfläche E1 gespannt werden. Wie lang muss das Seil mindestens sein?

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Das Seil geht senkrecht nach unten (wie lautet ein passender Vektor dafür). Stelle damit also eine Gerade für das Seil auf und bestimme dann den Schnittpunkt mit der Ebene. Berechne anschließend die Länge des Vektors von \(K\) bis zum Schnittpunkt.

Answer 2

Können Sie bitte c) lösen?

Setze die beiden Geradengleichungen aus b) gleich.

Das gibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in zwei Unbekannten (den Parametern).

Setze den einen Parameter der Lösung in die eine Geradengleichung oder den anderen Parameter in die andere Geradengleichung ein, beides wird den Schnittpunkt ergeben.