Aufgabe zu Basisvektoren

Question

Die Aufgabe lautet folgendermassen:

Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Begründe.

- Für jede Basis a⁽¹⁾, a⁽²⁾, a⁽³⁾ des ℝ³ ist auch -a⁽¹⁾, 2a⁽²⁾, a⁽¹⁾ + a⁽³⁾ eine Basis.

Weiss jemand wie man diese Aufgabe lösen kann, bzw. ob es einen anderen Weg gibt als Zahlen einzusetzen und auszuprobieren?

Answer 1

Seien $x_1,x_2,x_3\in\mathbb R$ mit $x_1\cdot(-a^{(1)})+x_2\cdot(2a^{(2)})+x_3\cdot(a^{(1)}+a^{(3)})=0$.
Umsortieren liefert $(x_3-x_1)\cdot a^{(1)}+(2x_2)\cdot a^{(2)}+x_3\cdot a^{(3)}=0$.
Da $a^{(1)},a^{(2)},a^{(3)}$ nach Voraussetzung eine Basis bilden, also linear unabhängig sind, folgt $x_3-x_1=0,2x_2=0,x_3=0$ und daraus die Behauptung.

Comments

Erstmals Danke,

wenn ich das so anschaue, sehe ich, dass x₁,x₂ und x₃ alle =0 sind, aber was sagt mir das nun für die Beantwortung der Behauptung, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch...

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Aus $x_1=x_2=x_3=0$ folgt, dass die drei Vektoren $-a^{(1)},2a^{(2)},a^{(1)}+a^{(3)}$ linear unabhängig sind und demzufolge ebenfalls eine Basis des $\mathbb R^3$ bilden.

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ich habe trotzdem noch eine Rückfrage,wären a⁽¹⁾ + a⁽³⁾ nicht automatisch linear abhängig?

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Nein, $a^{(1)}+a^{(3)}$ ist ein einzelner Vektor und sicher nicht der Nullvektor. Was du moglicherweise meinst ist, dass die Vektoren $a^{(1)},a^{(3)},a^{(1)}+a^{(3)}$ linear abhängig sind.