Gleichung der Tangente und Normale durch den Punkt P(0|0) bei Funktion f(x)=x^4 - x^3 - x^2 + x?

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^4 - x^3 - x^2 + x

Wie lauten die Gleichungen der Tangente und Normale durch den Punkt P(0|0)?

Answer 1

Tangente und Normale einer Funktion durch einen Punkt sind Geraden durch diesen Punkt, mit ganz besonderen Eigenschaften:
Die Tangente hat die selbe Steigung wie die Funktion und die Normale steht senkrecht auf die Funktion.

 

Um ihre Gleichung zu bestimmen, benötigst du die Punktsteigungsformel:

Sind Steigung m einer Funktion t und ein Punkt P(x₀, y₀), durch den sie hindurchgeht gegeben, so gilt für ihre Funktionsgleichung:

t(x) = m*(x-x₀) + y₀

Eine weitere wichtige Grundlage: kennt man die Steigung m einer Gerade, so ist die Steigung m' der Senkrechten Geraden:

m' = -1/m

 

Zunächst muss also die Steigung der Funktion f im Punkt (0,0) bestimmt werden.

Dafür wird ihre Ableitung berechnet:

f(x)=x⁴ - x³ - x² + x

f'(x) = 4x³ - 3x² - 2x + 1

f'(0) = 1

 

Tangente:

t(x) = 1*(x-0)+0 = x

Die Gleichung der Tangente ist also t(x) = x

 

Normale:

Die Steigung der Normalen ist: m' = -1/1 = -1

n(x) = -1*(x-0)+0 = -x

Die Gleichung der Normalen ist also n(x) = -x