f ( x ) := ( 40 x / ( .2 x + 2 ) + 10 ) * 1/5 - x = ( 1a )
= 2 + 8 x / ( .2 x + 2 ) - x = ( 1b )
= 2 + 40 x / ( x + 10 ) - x ( 1c )
Ihr benutzt die Polynomdivision ( PD ) für alle möglichen und unmöglichen Zwecke. Genau hier brauchen wir sie.
x / ( x + 10 ) = ( x + 10 ) / ( x + 10 ) - 10 / ( x + 10 ) = 1 - 10 / ( x + 10 ) ( 2a )
y = f ( x ) = 42 - 400 / ( x + 10 ) - x ( 2b )
Was ist ( 2b ) für ein Typ? Wenn du jetzt sagst
" Gerade + Hyperbel "
bist du mir schon auf den Leim gegangen ( Sonst hätte ich ja nicht gefragt. ) Es war meine erste große Entdeckung bei einer Extremwertaufgabe in dem Konkurrenzportal " Lycos "
" Gerade + Hyperbel = Hyperbel " ( 3 )
An meiner Wiege hat mir das keiner gesungen; nicht mal in der Uni hat man mir das " gelernt " ...
An deinem Beispiel werde ich das jetzt plausibel machen. Zunächst mal gilt es zu lernen: Die ( beiden Äste ) einer Hyperbel verlaufen Punkt symmetrisch gegen den Schnittpunkt ihrer Asymptoten. Hier hast du
g1 ( x ) = 42 - x ( 4a )
eine Parallele zu der ( fallenden ) Winkel Halbierenden so wie
g2 | x = ( - 10 ) ( 4b )
Was dich hier so komisch anguckt: Was du gewohnt bist, sind die ===> gleichseitigen Hyperbeln mit ihrem Öffnungswinkel von 90 ° . Dagegen der Winkel zwischen ( 4ab ) beträgt bloß 45 °
Bei der Grobskizze ganz rationaler Funktionen musst du immer von Rechts kommen, also in ( 4a ) asymptotisch von ( - °° ) Wegen des negativen Residuums in ( 2b ) haut der Graf auch wieder ab nach ( - °° ) bei Annäherung an den Pol bzw. an Asymptote ( 4b ) von Rechts ( Man muss unterscheiden zwischen Öffnungswinkel 45 und 135 ° ) Der Schnittpunkt von ( 4ab ) ist
( x0 | y0 ) = ( - 10 | 52 ) ( 5a )
Dieses Symmetriezentrum verschieben wir nun in den Ursprung.
u := x - x0 = x + 10 ( 5b )
x = u - 10 ( 5c )
( 5c ) substituieren in ( 2b )
y = f ( u ) = 52 - 400 / u - u ( 5d )
Jetzt noch den y-Wert in den Ursprung verschieben; vgl. ( 5a )
v := y - y0 = y - 52 ( 6a )
Den Verschieber ( 6a ) musst du anwenden auf ( 5d )
v = v ( u ) = - 400 / u - u ( 6b )
Und? Was hab ich gesagt? Du musst dich im Leben immer frei machen von einem falschen Standpunkt ( oder Standort ) In ( 6b ) ist doch die ungerade Symmetrie zwischen dem linken und dem rechten Ast offensichtlich.
Es sollte auch weiter kein Problem sein, die Extrema von ( 6b ) zu bestimmen ( die natürlich im u-v-Koordinatensystem nullpunkt-bzw. spiegelsymmetrisch fallen; das Maximum rechts, das Minimum links. )
Doch ein Punkt sei noch hervor gehoben. In uv-Darstellung kann eine Hyperbel nur ENTWEDER Extrema haben oder Nullstellen - nie beides. Denn für die Extrema ergibt sich eine quadratische Bedingung; wegen der Symmetrie heißt das aber, rechts nur ein Extremum und links eines.
Mit einem Extremum hast du aber entweder keine Knoten oder gleich zwei - gespiegelt wären das vier. ( 6b ) stellt aber auch nur eine quadratische Bedingung dar.
Jetzt noch der Beweis, dass es sich tatsächlich um eine Hyperbel handelt. Wir werden zeigen, dass hier eine ===> homogene quadratische Form vor liegt und damit ein ===> Kegelschnitt.
u ² + u v = ( - 400 ) ( 7 )
Im Übrigen gilt auch die Umkehrung von ( 6b ) Jede Hyperbel kannst du auf diese Form bringen a/u + b u ; du musst nur das Zeichenblatt so geschickt drehen, dass eine Asymptote vertikal verläuft.
