Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und
a) ihrem Quadrat
am größten?
f(x) = |x
2 - x|
Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x
2 ≤ x, können wir schreiben
f(x) = x - x
2 f'(x) = 1 - 2x
1 - 2x = 0
x = 0,5f''(x) = -2 < 0 | also liegt an der Stelle x = 0,5 ein Maximum vor.
"Plausibilitätsüberprüfung":
0,5 - 0,5
2 = 0,25
0,6 - 0,6
2 = 0,6 - 0,36 = 0,24
0,4 - 0,4
2 = 0,4 - 0,16 = 0,24
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0
Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und
b) ihrer Wurzel
am größten?
f(x) = |x - x1/2|
Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x1/2 ≥ x, können wir schreiben
f(x) = x1/2 - x
f'(x) = 1/2 * x-1/2 - 1
1 = 1/2 * x-1/2 = 1/2 * 1/x1/2 | * 2
2 = 1/x1/2 | ^2
4 = 1/x | * x
4x = 1 | : 4
x = 1/4 = 0,25
f''(x) = -1/4 * x-3/2
f''(1/4) = -1/4 * (1/4)-3/2 = -1/4 * 8 = -2 | also liegt an x = 1/4 ein Maximum vor.
"Plausibilitätsüberprüfung":
1/2 - 1/4 = 0,25
(1/5)1/2 - 1/5 < 0,25
(1/3)1/2 - 1/3 < 0,25
1 - 1 = 0
0 - 0 = 0
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :-D
Besten Gruß