Frage zu Extremwertaufgabe

Question

ich weiß nicht wie ich folgende Extremwertaufgabe lösen soll

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

a) ihrem Quadrat

b) ihrer Wurzel

am größten?

Answer 1

Die Differenz sei D, die gesuchte Zahl x, dann ist

a) D(x) = x² -x

b) D(x) = x - w(x)

Jetzt die Extremwerte berechnen.

Comments

woher weiß ich dann, was Haupt, Neben oder Zielfunktion ist?

Answer 2

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

a) ihrem Quadrat 
am größten?

f(x) = |x² - x|
Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x² ≤ x, können wir schreiben
f(x) = x - x²
f'(x) = 1 - 2x
1 - 2x = 0
x = 0,5
f''(x) = -2 < 0 | also liegt an der Stelle x = 0,5 ein Maximum vor.
"Plausibilitätsüberprüfung":
0,5 - 0,5² = 0,25
0,6 - 0,6² = 0,6 - 0,36 = 0,24
0,4 - 0,4² = 0,4 - 0,16 = 0,24
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0

Für welche Zahl zwischen 0 und 1 ist der Abstand dieser Zahl und

b) ihrer Wurzel

am größten?

f(x) = |x - x^1/2|

Da für 0 ≤ x ≤ 1 gilt x^1/2 ≥ x, können wir schreiben

f(x) = x^1/2 - x

f'(x) = 1/2 * x^-1/2 - 1

1 = 1/2 * x^-1/2 = 1/2 * 1/x^1/2 | * 2

2 = 1/x^1/2 | ^2

4 = 1/x | * x

4x = 1 | : 4

x = 1/4 = 0,25

f''(x) = -1/4 * x^-3/2

f''(1/4) = -1/4 * (1/4)^-3/2 = -1/4 * 8 = -2 | also liegt an x = 1/4 ein Maximum vor.

"Plausibilitätsüberprüfung":

1/2 - 1/4 = 0,25

(1/5)^1/2 - 1/5 < 0,25

(1/3)^1/2 - 1/3 < 0,25

1 - 1 = 0

0 - 0 = 0

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :-D

Besten Gruß