Kurvendiskussion Extremstellen Notw. Bedingung

Question

Ich bräuchte die Notwendige/hilfreichende bedingung um die Extremstellen zu erfassen, mit lösungsweg

f(x) = 2x^{4}-4x^{2}-2

f'(x) = 8x^{3}-8x

Answer 1

f(x) = 2·x^4 - 4·x^2 - 2

f'(x) = 8·x^3 - 8·x

f''(x) = 24·x^2 - 8

f'''(x) = 48·x

Extrempunkte f'(x) = 0

8·x^3 - 8·x = 8·x·(x^2 - 1) = 8·x·(x + 1)·(x - 1)

0, 1 und -1 sind einfache Nullstellen der Ableitung. Damit sind das Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und somit wirkliche Extrempunkte.

f(-1) = -4

f(0) = -2

f(1) = -4

Tiefpunkte bei (±1 | 4) und Hochpunkt bei (0 | -2).

Comments

Bei dieser Rechnung 8·x³ - 8·x = 8·x·(x² - 1) = 8·x·(x + 1)·(x - 1)

heißt es einfach das auf beiden Seiten ein X abgezogen wird? ich weiß nicht wieso, aber ich stelle mich bei der Aufgabe ziemlich doof und kompliziert .. 

---

Ich faktorisiere einfach den Term, der auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht. Zunächst ein 8x ausklammern, dann die binomische Formel erkennen.

Answer 2

f(x) = 2·x⁴ - 4·x² - 2

f'(x) = 8·x³ - 8·x

f''(x) = 24·x² - 8

Stellen mit waagerechter Tangente f ' ( x ) = 0

Rechnen wir ab hier einmal konventionell

8·x³ - 8·x   = 0  |  8 * x ausklammern
8 * x * ( x^2 - 1 ) = 0

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist

8 * x = 0  => x = 0
und
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = 1
x = -1

Lösungen sind die Stellen
x = 0
x = 1
x = -1

Sind die Extremstellen vielleicht Wende- / Sattelpunkte ?
2.Ableitung = 0

f ' ' ( x ) = 24·x² - 8

f ' ' ( 0 ) = 24·0² - 8 ≠ 0
f ' ' ( 1 ) = 24·1² - 8 ≠ 0
f ' ' ( -1 ) = 24·(-1)² - 8 ≠ 0

Alle Stellen sind Extremstellen