Unabhängigkeit von Vektoren zeigen

Question

Folgende Aufgabe:

1. Seien u, v, w, linear unabhängige Vektoren eines R-Vektorraums V . Zeigen Sie, dass u + v, 2u − 2v, 2u − v + w ebenfalls linear unabhängig sind.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich anfangen soll. Einfach drei Vektoren nehmen (z.B. (1|3), (4|10), (2|7), die linear unabhängig sind? Und dann mit v+w prüfen, ob der neue Vektor immer noch linear unabhängig ist?

Oder muss ich das allgemein zeigen, ohne Beispielvektoren zu suchen? Wie ist der Ansatz?

Answer 1

$$\quad\lambda(u+v)+\mu(2u-2v)+\tau(2u-v+w)=0$$$$\Leftrightarrow(\lambda+2\mu+2\tau)u+(\lambda-2\mu-\tau)v+\tau w=0.$$Da \(u,v,w\) linear unabhängig sind, gilt$$(1)\quad \lambda+2\mu+2\tau=0$$$$(2)\quad \lambda-2\mu-\tau=0$$$$(3)\quad \tau=0.$$Zeige, dass dieses LGS nur die triviale Lösung besitzt.

Comments

Hatte die Aufgabe wohl falsch verstanden...

Mein LGS sieht dann so aus:

(1) a + 2b + 2c = 0
(2) a - 2b - c = 0
(3) c = 0

Jetzt (2) - (1), dann

(1) a + 2b + 2c = 0
(2) - 4b - 3c = 0
(3) c = 0

Aus (3) folgt c = 0.
Dann aus (2) b = 0.
Und aus (1) a = 0.

So habe ich dann gezeigt, dass u + v, 2u − 2v, 2u − v + w linear unabhängig sind? Oder muss ich noch etwas machen?

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Damit ist gezeigt, dass die Gleichung aus der ersten Zeile der Antwort nur für \(\lambda=\mu=\tau=0\) lösbar ist, was bedeutet, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind, wonach ursprünglich gefragt war.

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Sehr schön, danke!

u+v, u+3v−w, u+5v−2w

So lautet meine zweite Aufgabe. Bin genauso wie bei der ersten vorgegangen und habe eine Nullzeile bekommen. Das heißt eine triviale Lösung ist nicht möglich und dadurch sind die Vektoren linear abhängig? Oder irre ich mich?

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Sollte es eine nichttriviale Lösung geben, sind die Vektoren linear abhängig.