teilerfremd rein periodisch

Question

Aufgabe:

Sei \( d \in \mathbb{N} \) zu 10 teilerfremd (d.h. \( \operatorname{ggT}(d, 10)=1) \)

Zeigen Sie, dass \( \frac{1}{d} \) eine rein periodische (d.h. ohne Vorperiode) Darstellung besitzt. Hinweis: Verwenden Sie (ohne Beweis), dass es für solche \( d \) ein \( k \in \mathbb{N} \) gibt, so dass \( d \), ein Teiler von \( 10^{k}-1 \) ist.

Answer 1

d teilt 10^k - 1 heißt: Es gibt ein n aus IN mit

n*d= 10^k - 1    also

n* 1/(10^k - 1 ) = 1/d     #

1/(10^k - 1 ) ist der Wert der unendlichen geom. Reihe mit q=1/ 10^k

also eine periodische Dezimalzahl mit der Periodenlänge k und der Periode 0000...001.

wegen # hat 1/d also n * die Dezimaldarstellung von 1/(10^k - 1 )

also wird die Periode mit n multipliziert. Besteht also aus ggf. einigen Nullen

und dann der Ziffernfolge von n, denn  n ist  Teiler von 10^k - 1 also

insbesondere ≤  10^k - 1 . Dabei kann allenfalls eine kürzere Periodenlänge

entstehen, wenn z.B die Ziffernfolge von n aus lauter gleichen Ziffern besteht,

aber jedenfalls keine Vorperiode.