Eigenwert einer Matrix berechnen

Question

Ich habe die Matrix \(A(p)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & p \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) mit \(p\in\mathbb{R}\) gegeben und muss für eine Aufgabe die Eigenwerte berechnen.

\(\chi_{A}( \lambda )=-\lambda^3+p\)

Wie komme ich jetzt auf die Eigenwerte? Danke.

Answer 1

Das Characteristische Polynom gleich Null setzen.

p - k^3 = 0 --> k = p^{1/3}

Comments

Hab einen Fehler gemacht, \(\chi_A(\lambda)=-\lambda^3+p+\lambda\).

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Überprüf das mal. Ich glaube vorher war es richtig und jetzt verkehrt. Es sei denn die Matrix ist verkehrt.

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Stimmt, ich war mir nur unsicher, weil die Eigenwerte sehr komisch sind.

Demnach ist \(\chi_A(\lambda)=(\sqrt[3]{p}-\lambda)(\dfrac{-\sqrt[3]{p}+\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)(\dfrac{-\sqrt[3]{p}-\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)\).

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Eigentlich würde man das lieber so aufschreiben

- k^3 + = - (k - p^{1/3})·(k^2 + k·p^{1/3} + p^{2/3})

Also die Komplexen Nullstellen eigentlich nicht weiter aufsplitten. Aber da ist die Frage was genau eure Aufgabe ist?

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Wir müssen dann die Jordan-Normalform und darauf aufbauend das Minimalpolynom der Matrix \(A(p)\) berechnen.

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Kann es sein, dass die Jordan-Normalform dieser Matrix eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale ist?

Answer 2

Löse die Gleichung \(\chi_A(\lambda)=0\).

Comments

Der einzige Eigenwert wäre ja dann \(\lambda_1=\sqrt[3]{p}\) Wäre das dann ein drei-facher Eigenwert?

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Stell dir mal den Graphen des entsprechenden Polynoms vor. Ist \(\lambda_1\) eine dreifache Nullstelle?

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Nein.

Wie soll ich aber das char. Polynom in Linearfaktoren zerlegen?