Man zeige: Diese Kurve ist genau die Schnittkurve des Drehzylinders mit der Kugel.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Raumkurve

\( \vec{c}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 2 \sin (t / 2) \end{array}\right), \quad 0 \leq t \leq 4 \pi \)

(a) Man zeige: Diese Kurve ist genau die Schnittkurve des Drehzylinders \( x^{2}+y^{2}=1 \) mit der Kugel \( (x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \). Man erstelle auch eine Skizze der Kurve \( \vec{c}(t) \) sowie \( \operatorname{der} \) beiden angegebenen Figuren (wie sie sich schneiden).

(b) Man berechne den Tangentialvektor, den Krümmungsvektor und die Torsion in jedem Punkt. (Hinweis: Verwenden Sie für die Torsion die Formel am Ende von Abschnitt 2).

Answer 1

Der Drehzylinder schneidet ja die xy-Ebene im Kreis x^2 + y^2 = 1 und hat beliebige
z-Koordinaten. Also sind die Punkte auf ihm (ich schreibe die Koo nebeneinander
statt untereinander)  gemäß der Parametrisierung des
Einheitskreises    (  cos(t) , sin(t) , z )       für alle t und z  aus R.
in die Kugelgleichung einsetzen gibt
( 1 + cos(t) )^2 + sin^2(t)  + z^2 = 4
1 + 2cos(t) + cos^2(t) + sin^2(t)  + z^2 = 4

1 + 2cos(t) + 1 + z^2 = 4

z^2 = 2 - 2cos(t)

z = +/- wurzel(2) * wurzel( 1 - cos(t) ) 

und mit der formel  sin(alpha/2) = +/- wurzel(    (1 - cos(alpha)) / 2  ) 

gibt das z = 2 sin (t/2 )

Jetzt braucht man noch den Bereich für das t.

Die Kugel hat den Mittelpu (-1/0/0) und Radius 2 die

Werte für z bewegen sich also zwischen -2 und 2 (jeweils einschließlich)

und -2 ≤ 2 sin (t/2) ≤ 2

gibt   -1 ≤  sin (t/2) ≤  1 

und damit alle Werte einmal drankommen muss

t/2   z.B zwischen  0 und 2pi laufen also t zwischen o und 4pi.