Bestimmen Sie die Lösungsmenge der komplexen Gleichung z^3-2 = 0

Question

ich weiß leider nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.

Kann mir das jemand ausführlich erklären??

 

Vielen DANK!

Answer 1

D.h. z^3 = 2.

Rechne das in Polarkoordinaten.

Der Radius ist bei allen 3 Wurzeln r=2^{1/3}

also 3. Wurzel aus 2.

Die Winkel sind in Bogenmass 0, 2pi/3 und 4pi/3.

zi = 2^{1/3} * e^{i2k*pi/3}

z1 = 2^{1/3}

z2 = 2^{1/3}*(cos(2pi/3) + isin(2pi/3)

z3 = 2^{1/3}*(cos(4pi/3) + isin(4pi/3)

vgl. auch ähnliche Aufgaben und stell dir die Lösungen in der komplexen Zahlenebene vor (am besten einzeichnen. Es gibt reguläre Vielecke). zB. auch hier

https://www.mathelounge.de/13291/komplexe-zahlen-berechnen-sie-alle-losungen-von-z-4-16-in-ℂ

Comments

Danke, aber wie schreibe ich das denn in Polarkoordinaten?

z³ - 2 = 0 hier habe ich ja kein i. Ist es dennoch die Koordinatenschreibweise?

Oder muss ich hier jetzt für z dann x + i y einsetzen, sodass da dann steht : (x+i y)³ -2 = 0

Ich komme total durcheinander ... wie komm ich denn bloß zur Polardarstellung?

Polardarstellung ist ja z = r ( cos phi + i sin phi)

 

 

 

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Das macht man direkt mit den geometrischen Eigenschaften der Multiplikation in der komplexen Zahlenebene (Winkel werden addiert und Radien (Beträge) multipliziert). Eine Umrechnung über diese kubische Gleichung ist deshalb nicht nötig.

Ein Lösungsweg mit kubischer Gleichung ist bei dieser ähnlichen Aufgabe zu sehen: https://www.mathelounge.de/16140/bestimmen-sie-samtliche-losungen-der-gleichung-z-3-1-0

Hier könntest du die Polynomdivision mit der reellen Lösung beginnen.