Ist Wurzel(z) differenzierbar?

Question 1

ich soll zeigen,dass:

$$\sqrt { z } :=\sqrt { |z| } *{ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } i*Arg(z) } $$

Für C ohne (-unendlich,0] diffbar ist.

Ich habe dies nach Realteil und Imaginärteil umgeschrieben:

(x^2+y^2)^{1/4} * cos(1/2 arctan(y/x) ) = Re(Wurzel(z))

(x^2+y^2)^{1/4} * cos(1/2 arctan(y/x) ) = Im(Wurzel(z))

Ich stelle nun die Cauchy-Riemannsche DGL auf ,indem ich partielle Ableitungen der beiden Teile bilde.

Hierbei erhalte ich aber sehr komplexe Funktionen.

Meine Frage ist nun: Gibt es einen einfacheren Weg die Diffbarkeit zu zeigen?

Question 2

Kann das überhaupt sein?

In R ist f(x)= √x ja nicht differenzierbar in x=0.

Question 3

Für C ohne (-unendlich,0] diffbar ist.

Also C\(-unendlich,0].

Die 0 ist nicht in dem Intervall.

Question 4

Stimmt. Hatte ich überlesen.

Bild Mathematik

Aber bewiesen habe ich so auch noch nichts.

Question 5

Ah du hast deinen Kommentar editiert. Habe ich leider nicht mehr gesehen.

Wenn ich die partiellen Ableitungen für Realteil und Imaginärteil bilde, so sehe ich an den Cauchy-Riemann DGLs,dass diese Funktion diffbar ist.

Aber wie gesagt sind diese partiellen Ableitungen etwas unschön.

Question 6

Die Bilder sind eben leider auch kein eigentlicher Beweis.

Vielleicht hilft dir das Folgende(?)

"Über den Logarithmus im Komplexen habe ich gelesen, dass er auf dem Gebiet $\mathbb C\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}$ holomorph ist."

Question 7

Habe nochmals editiert.

Question 8

Das hilft mir leider nicht,da ich den Logarithmus ja gar nicht benutze. Auf der Seite ist Wurzel(z) auch anders definiert =(

Question 9

Die in dem Link verwendete Funktion ist äquivalent zu deiner:

$$ e^{\frac{1}{2}\ln z} = e^{\frac{1}{2}\ln |z| + i\frac{1}{2}\cdot \arg(z)} = \sqrt{|z|} \cdot e^{\frac{1}{2}i\cdot \arg(z)}$$

Die Definition ist gerade so gewählt, dass $ \left(\sqrt{z}\right)^2 = z$, so wie man es von der Wurzelfunktion erwartet.

Question 10

Kannst du mir sagen, warum man die Umformungen,die du machst, machen kann?

Also wieso ist ln z = ln|z|

Und warum kann man zum Exponenten + i1/2*arg(z) addieren?

Question 11

Für eine komplexe Zahl definiert man $ \ln z := \ln|z| + i\cdot \arg(z) $.

Question 12

Ah jo,danke. Das habe ich genau gerade im Skript auch gesehen :D

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