Richtungsableitung von f(x,y) = x^2 y im Punkt P(1,-1)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x, y)=x^{2} y \).

(a) Man berechne die Richtungsableitung \( \partial_{\vec{v}} f \) im Punkt \( P=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \) bezüglich des Vektors \( \vec{v}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) . \)

(b) Bestimme den Einheitsvektor \( \vec{v} \), für den die Richtungsableitung im Punkt \( P \) ihr Maximum annimmt. Wie groß ist der Maximalwert?

(c) Bestimme unter den Vektoren \( \vec{v} \) mit \( |\vec{v}| \leq 2 \) denjenigen, für den die Richtungsableitung im Punkt \( P \) ihr Maximum annimmt. Wie groß ist der Maximalwert?

Ansatz/Problem:

Also alls erstens brauche ich jemanden der mir sagt ob ich die richtige lösung fur (a) habe:
(a) ich habe die funktion nach x abgeleitet (2xy) und nach y (x²) dan die punkte eingesetzt und hab den grad:
Grad(f) = (fx; fy) = (-2;1). Danach hab den Normal vektor ausgerechnet (der 1/√5 *(1;2) ist).
Und wenn ich jetzt das in die formel fur die Richtungsableitung einsetze kommt bei mir der wert 0 raus. Ist das jetzt richtig oder hab ich irgendwo einen fehler gemacht?

Für (b) und (c) brauche ich Hilfe. Wie berechnet man jetzt den maximal Wert aus? Ist da die gleiche Formel wie bei den Maximen und Minimen?

Comments

Zu b):

Kannst du da vielleicht parametrisieren?

z.B . v = (cos(t), sin(t)) ?

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zu a) Meines Erachtens hast da richtig gerechnet. Also die Richtungsableitung hat in diesem Fall den Wert 0.