Komplexe Zahlengleichung lösen. Zusammenfassen von Z. Aber wie? 2j · z^2 − (8+4j) · z − (8+18j) = 0

Question

Folgende Aufgabe stellt mich vor ein Problem:

 

2j · z² − (8+4j) · z − (8+18j) = 0

 

Mein Lösungsansatz:

z2 − ( (8+4j) / 2j )· z − ( (8+18j) /2j ) =0

 

z² − (2 − 4j) · z − (9 − 4j) = 0

 

Dann weiß ich nicht mehr weiter:( Wie bekomme ich diese z´s zusammen?

Danke, LG Maria

Comments

Man könnte für z = a + bi einsetzen und das ganze ausmultiplizieren. Dann könnte man getrennt den Realteil und den Imaginärteil gleich Null setzen.

Das wäre ein Lösungsansatz der sicher auf eine Lösung führt. Das erscheint mir aber momentan etwas aufwendig, warum ich das erstmal nur als Kommentar schreibe.

Vielleicht weiß ja jemand eine geschicktere Lösung.

Answer 1

Sei gegrüßt Maria

Man löst das genau wie bei bei den reellen Zahlen mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

 

Beim Wurzelziehen von komplexen Zahlen muss man die Formel von Moivre anwenden.

Man erhält also für die n-te Wurzel n Lösungen.

Comments

Hallo Johann,

danke für deine schnelle Antwort. Deine Lösung scheint mir plausibel.

Ich hab aber noch ein paar Verständnis-Fragen...

 

Bei einer Quadratischen Gleichung ist ja die Normalform:   ax² + bx + c

In unserem Fall wäre ja dann, nach meinem Verständnis:    ax² = -(2-4j)   und  bx = -(9-4j)   und c gibt es nicht.

Warum hast du das genau andersherum gemacht?

Wenn ich das D mit deinen Werten ausrechne komme ich irgendwie nicht auf  6 - 8j. Wie hast du das gemacht.

Dann verwirrt mich noch warum der Winkel durch 2 geteilt wird.

 

Vielen Dank, Maria

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Duhast doch die Gleichung  z² − (2 − 4j) · z − (9 − 4j) = 0 vergleiche das mit az² +b · z +c = 0 bekommst du doch a=1, b= -(2-4j)=4j-2 und c=-(9-4j) =4j-9.

genau das steht auch oben. Bei D, hat Johann wohl die 2 im Nenner schon mit hinein gewurstelt, du hast recht eigentlich ist

D=b²-4ac=(2-4j)²+4(9-4j) =( 4-2*2*4j + (4j)² ) + 36 -16j = 4-16j +16*(-1) +36 -16j =24 - 32j

Zieht man jetzt aber noch die 2 aus dem Nenner mit in die Wurzel, so muss man alles durch 2²=4 teilen, erhält also 6 - 8j.

Dass durch 2 geteilt wird, liegt an dem Wurzelziehen, √e^x=e^0,5x.

Ich würde aber die Wurzel "von Hand" ziehen, das heißt nicht mit Winkeln rechnen, da muss man dann auch nicht auf gerundete Werte zurückgreifen.

Es ist

 

Und dann bekommt man als Lösungen:

(1+2i)+Wurzel1 und (1+2i)+Wurzel2 wie schon bei den Lösungen oben.

 

 

 

 

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Hallo Maria

Zunächst stelle ich mal die allgemeine Form der quadratischen Gleichung und die quadratische Gleichung mit den komplexen Zahlen gegenüber:
ax² +     b *       x +      c      = 0;
  z² − (2 − 4j) · z − (9 − 4j) = 0;
etwas umschreiben:
1*z² + (-2 + 4j) · z + (-9 + 4j) = 0;
--> daraus folgt, wenn x = z:
a = 1;
b = (-2 + 4j);
c = (-9 + 4j);
Das musst Du jetzt nur noch einsetzen; Du kannst natürlich auch die pq-Formel verwenden. Ich mache das einfach aus Gewohnheit nicht und verwende einfach immer die Standardform der Lösungsformel (für mich Standardform).

Dass Du bei D nicht auf meine Werte kommst ist verständlich: Ich hab da wohl einen kleinen Fehler gemacht und das 1/2 noch mit dazu genommen. Entschuldige bitte. Du musst also dein Ergebnis von D noch durch 4 teilen und kommst dannauf mein Ergebnis.

Nun formst Du 6-8j in die Polarform um und erhältst 10 * exp(-j*0,9273). Wenn Du nun daraus die Wurzel ziehst, dann passiert Folgendes:
Nach der Formel von Moivre (s. oben) musst Du rechnen:

Da k nur 0 und 1 wird kann man den Teil mit k*2pi weglassen.
Das geteilt durch 2 kann man sich auch plausibel machen indem man schreibt:
sqrt( 10 * exp(-j*0,9273) ) = ( 10 * exp(-j*0,9273) ) ^{1/2} = 10^{1/2} *  (exp(-j*0,9273) )^{1/2} =
sqrt(10) * exp(-j*0,9273 /2 ).

 

 

 

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Jetzt hab ich es verstanden:)

Schönes Wochenende, Maria

Answer 2

Neben meinem Lösungansatz gibt es auch die Möglichkeit das ganze über quadratische Ergänzung zu lösen.

Wolfram-Alpha liefert dir eine komplette Step bei Step Lösung. Ich habe sie hier einfach mal kopiert falls du keinen Account bei Wolfram-Alpha hast.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2iz%5E2-%288%2B4i%29z-%288%2B18i%29%3D0

Solve for z:

(4 i-9)-(-(4 i)+2) z+z^2 = 0

Solve the quadratic equation by completing the square.
Subtract -9+4 i from both sides:

(4 i-2) z+z^2 = -4 i+9

Take one half of the coefficient of z and square it, then add it to both sides.
Add -3-4 i to both sides:

(-4 i-3)+(4 i-2) z+z^2 = -8 i+6

Factor the left hand side.
Write the left hand side as a square:

(2 i-1+z)^2 = -8 i+6

Eliminate the exponent on the left hand side.
Take the square root of both sides:

(2 i-1)+z = sqrt(-8 i+6) or (2 i-1)+z = -sqrt(-8 i+6)

Express 6-8 i as a square using 6-8 i = -(8 i)+2 i^2+8, then factor.

6-8 i  =  -8 i-2+8  =  -(8 i)+2 i^2+8  =  2×2 sqrt(2)×-i sqrt(2)+(-i sqrt(2))^2+(2 sqrt(2))^2  =  (2 sqrt(2)-i sqrt(2))^2:(2 i-1)+z = 2 sqrt(2)-i sqrt(2) or (2 i-1)+z = -2 sqrt(2)-i sqrt(2)

Look at the first equation:  Solve for z.
Subtract -1+2 i from both sides:

z = (-2 i+1)+sqrt(2) (-i+2) or (2 i-1)+z = -(2 sqrt(2)-i sqrt(2))

Look at the second equation:  Solve for z.
Subtract -1+2 i from both sides:
Answer: |   |

z = (1-2 i)+(2-i) sqrt(2) or z = (-2 i+1)+sqrt(2) (i-2)