Gerade durch Punkt-> minimale Fläche mit Achsen

Question

Beispiel3: https://crillovich.files.wordpress.com/2013/12/ueextremwert02.pdf

Wie lässt sich das lösen - Ich komme einfach nicht mehr weiter?

Meine Ansätze:

A=xy

y=k(x-3)+1

dann einsetzen und ableiten...

2xk-3k+1

x=1,5-0,5k

dann x in Zielfunktion einsetzen...

(1,5-0,5k)(1-1,5k-0,5k^2)

dann ...

Answer 1

Eine Gerade durch P(3|1) schneidet die 1. Mediane in Q und die x-Achse in R. Bestimme die Gerade so, dass das Dreieck 0(Nullpunkt)QR minimale Fläche hat.

g(x) = m * (x - 3) + 1 = m·x - 3·m + 1

Schnittpunkt Q

g(x) = x

m·x - 3·m + 1 = x --> x = (3·m - 1)/(m - 1)

Schnittpunkt R

g(x) = 0

m·x - 3·m + 1 = 0 --> x = (3·m - 1)/m

Fläche des Dreiecks

A = 1/2 * ((3·m - 1)/(m - 1)) * ((3·m - 1)/m) = (3·m - 1)^2/(2·m·(m - 1))

A' = (m + 1)·(1 - 3·m)/(2·m^2·(m - 1)^2) = 0

m = 1/3 ∨ m = -1

Tiefpunkt liegt bei m = -1.

Comments

Danke. Aber wieso gilt an der Stelle g(x) = x ?

Ich denke an:

y = m 0 + d

y=d

---

Und wie gibt m·x - 3·m + 1 = x

gleich  x = (3·m - 1)/(m - 1) 

würde man durch m-1 dividieren, gäbe es doch

x/(m-1)=mx/(m-1) - 3m/(m-1)+1/(m-1)

den Rest verstehe ich, danke

---

Danke. Aber wieso gilt an der Stelle g(x) = x ?

Offensichtlich weißt du nicht was die 1. Mediane ist. Zugegeben ich wusste es auch nicht bis ich vorhin mal Google gefragt habe. 

Also: Wenn man etwas nicht weiß, darf man selbständig Google befragen. Das schadet nicht und man lernt immer wieder dazu.

m·x - 3·m + 1 = x

m·x - x = 3·m - 1

(m - 1)·x = 3·m - 1

x = (3·m - 1) / (m - 1)

---

Tut mir leid. Ich war davon überzeugt, dass es die y-Achse ist.

Jetzt habe ich das Beispiel begriffen. Das Problem ist nur, dass ich mein Glück mit der gleichen Aufgabe aber mit dem Punkt (2|4) probiert habe. Ich bin genau so vorgegangen wie Sie (denke ich zumindest) und habe jeden Rechenschritt mit einem Rechenprogramm kontrolliert und durchgeführt. Aber ich komme immer auf ein positives K, also eine positive Steigung und das macht keinen Sinn. Vor allem gäbe das Volumen, wenn ich mein k (also 2) einsetze 0. Hätten Sie vielleicht noch einmal kurz Zeit, einen Blick darauf zu werfen?

DANKE!

---

Durch den Punkt P(2|4) soll eine Gerade so gelegt werden, dass das von der Geraden, der x und der y-Achse gebildete Dreieck minimalen Flächeninhalt hat.

f(x) = m * (x - 2) + 4 = m·x + (4 - 2·m)

y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 4 - 2·m

Nullstelle f(x) = 0

m * (x - 2) + 4 = 0

x = 2 - 4 / m

Fläche des Dreiecks

A = 1/2 * (2 - 4 / m) * (4 - 2·m) = - 2·m - 8/m + 8

A' = 8/m^2 - 2 = 0 --> m = ± 2

Hier macht nur -2 als Steigung überhaupt einen Sinn.