Ich will mir erst mal einen Überblick verschaffen, auch wenn es nicht zur Aufgabe gehört. Du hast die Transformation
u ( x ; y ) := exp ( x y ) ( 1a )
v ( x ; y ) := y - x ( 1b )
Zunächst mal fällt hier auf, dass die rollen von ( x ; y 9 einerseits und ( u ; v ) andererseits vertauscht sind; z.B. bei Polarkoordinaten werden x und y ( explizit ) durch r und ß ausgedrückt.
Die Iso-v-Linien sind Parallele zur Winkel Halbierenden ( WH ) und die Iso-u-Linien Hyperbeln, wobei der Entartungsfall x y = 0 identisch ist mit dem Achsenkreuz; jede Hyperbel entspricht dabei zwei unzusammenhängenden Ästen.
y - x = c1 ===> y = x + c1 ( 2a )
x y = c2 ===> y = c2 / x ( 2b )
Die Schnittpunktsbedingung führt auf eine quadratische Gleichung
x ² + c1 x - c2 = 0 ( 3a )
Im Fall c2 > 0 garantiert uns die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) zwei Schnittpunkte
x1 < 0 < x2 ( 3b )
Das ist anschaulich; mit Ausnahme nur eines endlichen Gebietes verläuft die Gerade im 1. und 3. Quadranten; genau dort halten sich aber auch die beiden Hyperbeläste auf, wenn c2 > 0 Das ist schon ein etwas merkwürdiges Koordinatensystem, wo zwei Punkte P1;2 das selbe u und v haben können. Aber die ===> Differenzialgeometrie ( DG ) argumentiert sowieso nur lokal, nie global. Beispiel: Du hast zwei Globata oder Erdkugelusse auf deinem Tisch stehen; könntste auch sagen, die geografischen Koordinaten sind zweideutig, weil Paris ( Globus 1 ) die selben Koordinaten hat wie Paris 2 .
Der Grenzfall c2 = 0 entspricht dem Abszissen-bzw. Ordinatenabschnitt. Und für c2 < 0 hast du in ( 3a )
x ² + c1 x + | c2 | = 0 ( 3c )
Hier kommt die Diskriminante ins Spiel, wie du weißt. Ich will jetzt mal c1 fest halten und c2 variieren. Damit wir uns etwas Bestimmtes vorstellen, sei c1 < 0 ; die Gerade schneidet ein Dreieck im 4. Quadranten ab. Sie hat jetzt nur noch Gelegenheit, an die Hyperbel im 4. Quadranten ranzukommen; und genau da verläuft die Hyperbel ja, wenn c2 < 0 . In den 2. Quadranten kommt die Gerade gar nicht rein.
Die Gerade hat jetzt zwei Schnittpunkte mit dem selben Hyperbelast ( wenn überhaupt; ( dem Betrage nach ) muss c2 ja genügend klein sein wegen der Diskriminante. ) Vergleiche die CV von ( 3c ) ; beide Wurzeln müssen positiv sein.
Dass die Diskriminante negativ werden kann, bedeutet, dass bei Weitem nicht jedem Koordinatenpaar ( u ; v ) auch ein Punkt P entspricht - vergleiochbar etwa 100 ° nördlicher Breite. Aber die DG stößt sich nicht an so Nebensächlichkeiten.
Jetzt ist da noch dieser Grenzfall, wenn die Diskriminante verschwindet. Dann wird die Gerade zur Tangente an die Hyperbel. Schlimm vom Standpunkt der DG aus ist nicht die Zweideutigkeit der Lösungen, sondern dieser Berührpunkt - warum?
Was stellst du dir unter einem Koordinatensystem vor? Ich muss in der Lage sein, z.B. u fest zu halten und nur v zu variieren. Und letzten Endes hoffen wir, wenn wir u und v über ein ( hinreichend kleines ) Rechteck variieren, damit eine zweidimensionale Umgebung der " Wirklichkeit " abzubilden ===> Atlas . Wo das z.B. schief geht: Angenommen du stellst dich auf den Nordpol und variierst den Längengrad. Da kommst du genau nirgendwo hin; der Nordpol hat keinen eindeutigen Längenwert.
Hier passiert etwas anderes, was mir bisher auch noch nie zugestoßen ist - muss ich ehrlich zugeben.
" Jetz stellemer ons janz domm; unne sagemer so. "
Du gibst den Geraden und den Hyperbeln Nummern. Jetzt kannst du auf Gerade 20 weiter gehen von dem Schnittpunkt mit Hyperbel 4711 zu Hyperbel 4712 ; das musst du dir jetzt so vorstellen wie die Streets und Avenues von New York.
Aber wenn die Street die selbe Tangente hätte wie die Avenue, wäre das doch kein Koordinatensystem mehr. Hier ich kenn das von der Konkurrenz ===> Cosmiq ; wisst ihr, was eine ===> Ortskurve ist? Ich nehm jetzt unsere ganzen Sorgenkinder her; die Hyperbeln
f ( x ) := - c2 / x ; c2 > 0 ( 4a )
Die fassen wir jetzt auf als Hyperbelschar. Und jede dieser Scharhyperbeln hat irgendwo einen Punkt, wo die Tangente unter 45 ° ansteigt. Und alle diese Punkte verbinden wir quasi durch eine Einhüllende; das genau ist die Ortskurve.
Aus der Ableitung von ( 4a )
f ' ( x ) = 1 ==='> x = sqr ( c2 ) ( 4b )
y = f ( x ) = - c2 / x = - sqr ( c2 ) ( 4c )
Jetzt tust du den Dummy c2 eliminieren in ( 4bc )
x + y = 0 ( 4d )
Ja da will ich doch Karl-Otto Eimer der Abwaschbare heißen, wenn auf dieser Linie ( 4d ) ( übrigens der fallenden WH ; aber das ist gar nicht so wichtig ) Transformation ( 1ab ) umkehrbar sein sollte.
Ich weiß; ich werde immer gescholten für meine Comiczitate ===> Yogibär
" Yogi; siehst du diese Linie? "
" Sie ist ein bisschen zackig, Ranger Smith. "
" Mach keine Witze; wenn du diese Linie überschreitest, wirst du sofort verhaftet ... "
Ich weiß jetzt also, was ich erwarte. Da die Aufgabe verlangt, direkt nachzusehen, wo diese Jacobimatrix singulär wird, tu ich dir das auch noch vorrechnen ( Zweifelst du etwa noch? Muttu nich tun. ) Aus ( 1ab )
d ( u ; v )
------------------------------- = ( 5a )
d ( x ; y )
y exp ( x y ) x exp ( x y )
- 1 1
Dass du Determinanten kannst, setze ich mal voraus. Ferner: Die e-Funktion hat keine Nullstellen. Dun kannst auch direkt über lineare Abhängigkeit gehen.
Aber mal ein Wort in eigener Sache. Ich hatte mal einen Assistenten
" Bewundern Sie etwa Prof. Greiner? " " ja "
" Müssen Sie nicht; der ist gar nicht so schlau, wie der tut. Wenn SIE Jahrzehnte lang vorlesung halten müssten, hätten Sie auch die Routine. "
Ich meine; bei dieser Aufgabe bin ich auch am Punkt Null gestartet. Ich wusste auch nicht. Das Erste, was ich schon nach einer Minute im Kopf raus hatte, war diese kritische Gerade.
Da dachte ich mir; aktion Yogibär. Die sieht doch ganz manierlich aus; schließlich begann ich sogar für Möglich zu halten, dass eine Jacobimatrix zusammen brechen kann, ohne dass das Koordinatensystem etwas Böses macht ( Ich weiß ehrlich nicht, ob das möglich ist. )
Was ich doch meine. Von einem Mathematikstuidenten erwarte ich, dass er spiel-und experimentierfreudig ist. Dass er sich was denkt; dass er mal nachsieht, was ist da los? also nicht erst warten bis der Prof fragt, charakterisieren Sie diese Linie; nein DU musst den inneren Antrieb verspüren, so zu fragen.
