Umgekehrte Kurvendiskussion und Integral

Question

Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe: Eine Parabel 3 Ordnung mit Gleichung y=x^3+bx^2+cx+d geht durch den Punkt P(2/3) und hat im Punkt T (1/-1) den Tiefpunkt. In ihrem Wendepunktwird sie von einer Parabel 2 Ordnung berührt, deren Scheitelpunkt an der Stelle -1 liegt. Diskutiere beide Kurven und berechne den Flächeninhalt des endlichen Flächenstücks, dass von beiden Kurven begrenzt wird.

Zuerst habe ich die Funktionen mal aufgeschrieben und die mir gegebenen Infowerte eingesetzt f(2)=8a+4b+2c+d=3       f`(1)=3a+2b+c=-1     f"(0)=2b=-1

Ich habe mir dann die einzelnen Variablen ausgerechnet. Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Muss ich die 2 Ableitung der 1 Funktion miit der 2 Ableitung der 2 Funktion gleichsetzen?

Comments

Anstelle
y=x³+bx²+cx+d

soll es heißen
y = a * x³+bx²+cx+d

Ja ?

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Ich denke doch so
y=x³+bx²+cx+d

Der Lösungsweg vom mathecoach dürfte dann richtig sein.

Answer 1

f(x) = x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(2) = 3 --> 4·b + 2·c + d + 8 = 3

f(1) = -1 --> b + c + d + 1 = -1

f'(1) = 0 --> 2·b + c + 3 = 0

Wir erhalten die Lösung: b = 0 ∧ c = -3 ∧ d = 1

f(x) = x^3 - 3·x + 1

f''(x) = 0 --> x = 0

g(x) = a·x^2 + b·x + c

g(0) = f(0) --> c = 1

g'(0) = f'(0) --> b = -3

g'(-1) = 0 --> b - 2·a = 0

Wir erhalten die Lösung: a = -1.5 ∧ b = -3 ∧ c = 1

g(x) = -1.5·x^2 - 3·x + 1

Skizze

Comments

Wieso wird der Tiefpunkt T(1/-1) bei dem gerechneten Beispiel eigentlich nicht in die erste Ableitung eingetragen? Ich dachte, dass Extremwerte nach der 1 Ableitung festgestellt werden.

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Um den Punkt auf dem Graphen von f(x)  zu erhalten, muss man den x-Wert der gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion, also f(x) einsetzen. f '(x) hat einen ganz anderen Graphen.

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@bertel
Hat der mathecoach doch in der 4.Zeile gemacht
f' ( 1 ) = 0   --> 2·b + c + 3 = 0

Answer 2

Übrigens; was bei dir " umgekehrte Kurvendiskussion " ( KD ) heißt, bezeichnen alle Normalos als " Steckbriefaufgabe " . Ich selbst begegnete dieser Bezeichnung erstmals bei der Konkurrenz von Lycosb

Dadurch dass du die Normierung a3 = 1 hast, brauchst du nur 3 Bedingungen. Ohne Schmuddeltricks geht bei mir gar nix ab; ein Extremwert ist immer eine Nullstelle gerader Ordnung ( Mehr als zweite geht ja nicht. )

Für mich ist das nur eine einzige Unbekannte, denn das Minimum behandle ich als Nullstelle:

F ( x ) := f ( x ) + 1   ( 1a )

    F ( x ) = ( x - 1 ) ² ( x - X3 )   ( 1b )

 

   Klar, was ich da mache? Also die Unbekannte X3 ist die andere noch verbleibende Nullstelle. Jetzt Acht passen; F geht ja durch den Punkt ( 2 | 4 )

2 - X3 = 4 ===> X3 = ( - 2 )    ( 2a )

X1 = ( - 2 ) , X2;3 = 1   ( 2b )

( Ich habe absichtlich " GROSS X " gewählt für die Knoten von F .

Jetzt Klammern auflösen; da böten sich drei Möglichkeiten an. Selber machen - die naivste. Wolfram - die klügste. Vieta - die edelste; das riecht nach Formelsammlung ...

a2 = - ( X1 + X2 + X3 ) = 0   ( 3a )

    A0 = - X1 X2 X3 = 2   ( 3b )

    a0 = A0 - 1 = 1   ( 3c )

    a1 = ( X2 + X3 ) X1 + X2 X3 = ( - 3 )  ( 3d )

   f ( x ) = x ³ - 3 x + 1 ( 4 )

Ist insbesondere in ( 3bc ) der Unterschied zwischen a0 und A0 verstanden? Dass du den Verschieber ( 1a ) rückgängig machen musst?

 

Comments

Leider sind hier keinme Ergänzungen erlaubt. Du eben ist was ganz Komisches passiert; ich hatte plötzlich unerklärlichen Binärcode in meiner Antwort. Und da sagt der, max 8 000 Zeichen seien überschritten.

Jetzt ist hier KD verlangt; und da diktiere ich dir meine zwei wichtigsten Tricks für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel Brauchst du immer wieder bei allen Steckbriefaufgaben.

" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

In der Schule wird quasi der Eindruck vermittelt, diese Kurven entwickelten sowas wie Individualismus.

Zu einer KD gehört Zweifel los ja auch der WP. Eine tröstliche Geheimbotschaft; dafür braucht's keine 2. Ableitung. Den schnitzt du dir direkt aus der Normalform ( die ja von Vorn herein verlangt war )

x ( w ) = - 1/3 a2 = 0   ( 2.1a )

( x | y ) ( w ) = ( 0 | 1 )   ( 2.1b )

Und zwar ( 2.1b ) wegen ( 1.4 )

Als Nächstes gehören  zu einer anständigen KD die Koordinaten des Maximums. Auch dafür braucht's keine ( erste ) Ableitung. Ganz spezieller Geheimtipp:

" Alle kubischen Polynome verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren WP. "

Daraus liesest du die Mittelwertbeziehung ab

( x | y ) ( w ) = 1/2 [ ( x | y ) ( max ) + ( x | y ) ( min ) ]    ( 2.2 )

Minimum, Maximum und WP - wenn du schon zwei hast so wie hier, folgt automatisch der dritte.