Man berechne den Grenzwert (Funktion)

Question

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( \frac { \sin { x }  }{ x }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  } } $$

bitte um hilfe komm echt gar nicht zurecht
grenzwert sollte $${ e }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }$$ sein
keine ahnung wie ich da drauf kommen soll

Answer 1

lim (x → 0) (SIN(x)/x)^{1/x^2}

= lim (x → 0) EXP(LN((SIN(x)/x)^{1/x^2}))

= lim (x → 0) EXP(1/x^2·LN(SIN(x)/x))

wir kümmern uns um den Grenzwert des Exponenten

lim (x → 0) 1/x^2·LN(SIN(x)/x)

= lim (x → 0) LN(SIN(x)/x) / x^2

Wir wissen: lim (x → 0) SIN(x)/x = 1

Daher ist der Grenzwert oben 0/0 und damit nicht definiert. Wir nutzen L'Hospital

= lim (x → 0) (COT(x) - 1/x) / (2·x)

= lim (x → 0) (x·COS(x) - SIN(x)) / (2·x^2·SIN(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (- x·SIN(x)) / (2·x^2·COS(x) + 4·x·SIN(x))

= lim (x → 0) (- SIN(x)) / (2·x·COS(x) + 4·SIN(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (- COS(x)) / (6·COS(x) - 2·x·SIN(x)) = - 1/6

Nun kümmern wir uns wieder um den gesamten Ausdruck

lim (x → 0) EXP(1/x^2·LN(SIN(x)/x)) = EXP(- 1/6) = 1/e^{1/6}

Comments

echt mega danke !!

wie kommst du auf = lim (x → 0) (COT(x) - 1/x) / (2·x) bzw. wo kommt der COT her

---

COT(x) = COS(X) / SIN(X)

Das schreibt sich nur schöner :)

---

ok got it 
leider noch was 

= lim (x → 0) (x·COS(x) - SIN(x)) / (2·x²·SIN(x))

L'Hospital

= lim (x → 0) (- x·SIN(x)) / (2·x²·COS(x) + 4·x·SIN(x))

wie machst du den schritt ?

---

bzw. im zähler ich grieg da (cos(x) - sin(x)) + (x* -sin(x)-cos(x)= raus

---

[x·COS(x) - SIN(x)]'

= [x·COS(x)]' - [SIN(x)]'

= [1·COS(x) + x·(- SIN(x))] - [COS(x)] 

= - x·SIN(x)

---

verdammt ich hab die produktregel mit x als f und cos - sin als g genommen ....

jetzt wird vieles klarer

vielen dank jetzt versteh ichs :)