Was versteht man unter Halbwertszeit? Wie hoch ist der jährliche prozentuale Zerfall? Zeichne die Exponentialfunktion.

Question

Aufgabe:

1. Bei Atombombenversuchen wird radioaktives Kobalt freigesetzt, das krebserregend ist. Seine Halbwertszeit beträgt 5,3 Jahre.

a. Was versteht man unter der Halbwertszeit?

b. Berechne, nach wie vielen Jahren nur mehr \( 1 \% \) vorhanden ist.

c. Wie hoch ist der jährliche prozentuale Zerfall?

2. Zeichne die Exponentialfunktion \( f(x)=2^{x} \) und nenne möglichst viele ihre Eigenschaften!

3. Die Wahrscheinlichkeit die Aufnahmeprüfung einer Universität zu bestehen liegt bei \( 40 \% \). Es werden 10 Kandidaten geprüft. Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 8 Kandidaten die Prüfung bestehen?

4. Erkläre was das Pascalsche Dreieck mit der Binomialverteilung zu tun hat!

5. Löse folgende Exponentialgleichungen

a. \( 3^{2 x-1}=2^{x+3} \)

b. \( 9^{x-1} \cdot 11^{x+1}=13^{2 x} \)

c. \( e^{3 x}=0,5 \)

Comments

Wenn du sagst " ich habe alle Aufgaben falsch gelöst " bezweifele nur, dass dich unsere Antworten überhaupt weiterbringen.

Bei Frage 1. wären Exponentialfunktionen allgemein zu erklären und dann diese im speziellen.

Würdest du es schaffen bei Aufgabe 2 die Funktion selbst zu zeichnen? Wertetabelle usw. ?

Answer 1

Zu 1)

Wikipedia:

a) Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht.

b) M(t) = M₀ * 0,5 ^{t/5,3}

0,01 * M₀ = M₀ * 0,5^{t/5,3}

Ln(0,01) = t/5,3 * Ln(0,5)

5,3 * Ln(0,01)(Ln(0,5) = t = 35,21 Jahre

M(1)=M₀ * 0,5^{1/5,3}

M(1)/M₀ = 0,5^{1/5,3} = 0,8774

Die prozentuale Abnahme beträgt pro Jahr 1-0,8774 = 12,26%

Zu 2)

~plot~2^x~plot~

Die Funktion ist streng monoton steigend auf ihrem ganzen Definitionsbereich. Sie schneidet die y-Achse bei 1. Die Grenzwerte sind für x→-∞: 0 und für x→+∞: ∞. Es gibt keine Nullstellen, keine Extrempunkte, keine Wendepunkte.

Zu 3)

Du brauchst also die Wahrscheinlichkeiten das 9 oder 10 Prüflinge bestehen (mehr als 8). Hierfür verwendest du die Binomialverteilung. n ist 10, k ist 8, p=0,4

P (9) = (10 über 9) * 0,4^9 * 0,6^1 = 10 * 0,4^9 * 0,6 = 0,00157

P(10) = (10 über 10) * 0,4^10 * 0,6^0 = 1 * 0,4^10 * 1 = 0,000105

P(9) + P(10) = 0,00167 = 0,167%

Zu 4)

Wikipedia:

"Das pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \), die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt."

Die Binomialkoeffizienten werden in der Binomialverteilung verwendet, um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus ein Gesamtheit von n Elementen auszuwählen.

Comments

Ich muss noch etwas einwerfen zu 4)

Man kann mittels der umgestellten Formel von Bernoulli die Aufgabe recht einfach berechnen.

$$  \sum _{ k=b+1 }^{ n }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) } *{ p }^{ k }*(1-p)^{ n-k } $$

P(X>b)

Damit komme ich dann auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,0212 → 2%

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Ich stimme den restlichen Lösungen soweit zu, ich komme auch auf selbige Ergebnisse.

Es ist jedoch sehr interessant, dass die Ergebnisse bei Aufgabe 3 abweichen.

Wie kommt denn bitte dieser Unterschied zustande, da ich mir für meinen Teil ziemlich sicher bin, dass meine Lösung richtig ist.

Wir hatten im Abitur damals eine mögliche Lösung mittes Formel bestimmen können.

Für mindestens und mehr als waren dies P(X>= a) (>= größer gleich, mindestens) oder P(X>b) für "mehr als"

Dazu dann die Formel welche ich Anfangs aufgeschrieben hatte für mehr als, versteht sich.

Man sollte dann das Ergebnis mittels Tabelle berechnen oder für die Gleichung welche in vorgeschlagen habe den GTR nehmen. Wobei man mit der Tabelle die Formel 1-P(X<=b) nehmen sollte "<=" kleiner gleich

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Hmm, um ganz konkret vergleichen zu können, welches Ergebnis nicht stimmt, müsstest du mal aufschreiben, wie du auf dein Ergbenis kommst, d.h. welche Zahlen du eingesetzt hast. Letztenendes habe ich ja auch nur die Formel benutzt die du aufgeschrieben hast, einmal für k=9 und einmal für k=10.

Tja, leider weiß ich immer noch nicht wie du auf dein Ergebnis gekommen bist.

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unser n, k p sind bekannt: n = 10 k = 8 b = 8+1. Bei der Summe musste dann n und b eingegeben werden für k hat man beim Casio fx 9860GII die "X,Teta,T" Taste drücken müssen für X:

So hatte man:

$$ \sum _{ X=8+1 }^{ 10 }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})*p^{ 8 }*(1-p)^{ 10-8 } }  $$

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Wenn du die Formel so in deinen Taschenrechner eingegeben hast kann ja nur was falsches rauskommen.

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Allerdings, alle "k"s müssen dann natürlich mit einem Tastendruck auf "X,Teta,T" ersetzt werden...