Man zeige, dass die Funktion die Potenzreihenentwicklung besitzt.

Question

Aufgabe:

(a) Man zeige, dass die Funktion \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x)}{x} & , x \neq 0 \\ 1 & , x=0\end{array}\right. \) die Potenzreihenentwicklung

\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1) !} \)

besitzt.

(b) Man bestimme eine Potenzreihe für \( F(x):=\int \limits_{0}^{x} f(t) d t \).

(c) Man bestimme näherungsweise das Integral \( \int \limits_{0}^{1} \frac{\sin (x)}{x} d x \), indem man die ersten 3 Glieder der Reihe aus Teil (b) verwendet.

Ansatz/Problem:

(a) Wie zeige ich, dass diese Funktion die Potenzreihenentwicklung besitzt?

(b) Soll ich hier einfach die Funktion integrieren? Also das Integrationskriterium benutzen?

Comments

a) Guck dir mal die Taylorreihe des Sinus an.
b) Die Reihe aus a) gliedweise integrieren.
c) Steht doch da, was du machen sollst.

Answer 1

(a) Tipp: Potenzreihenentwicklung vom Sinus.

(b) Jap, du musst integrieren. Beachte, dass du bei etwaiger Vertauschung des Summen- und Integralzeichens kurz begründen solltest, warum dies möglich ist.

(c) Da steht doch sehr genau, was du machen sollst. Du berechnest mit der in (b) ermittelten Potenzreihe \(F\) den Wert \(F(1)\) approximativ, indem du bis zum einschließlich dritten Glied der Reihe rechnest.