Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen

Question

ich komme gerade an einer Aufgabe nicht weiter.. Die Aufgabenstellung lautet:

Gegeben sind die Funktionen f und g durch f(x) = -x⁴ + x² + 2 und g(x) = x³ - 3x +2. Berechnen Sie schrittweise die Schnittpunkte der beiden Graphen (ohne GTR). Interpretieren Sie jede Umformung von f(x) = g(x) grafisch als Schnittproblem. An welcher Stelle im Intervall (-2;2) ist der Unterschied zwischen f(x) und g(x) am größten?

Ich habe also die Funktionen gleichgesetzt, habe aber so viele verschiedene Exponenten, dass ich nicht weiss wie ich weiter vorgehen soll. Ich habe dann ausgeklammer dass ich x ( - x³ - x² + x +3 ) raushatte. Wie soll ich jetzt weiter machen?

Dann weiss ich auch nicht was ich unter einem Schnittproblem  verstehen soll und auch nicht, wie ich das mit dem Intervall nachweisen soll....

Viele Dank im Voraus!

Comments

Du solltest als nächstes die Nullstellen von (- x³ - x² + x + 3) berechnen. Schrittweise könnte dabei für ein Näherungsverfahren gelten. Also Intervallschachtelung oder Newtonverfahren. Je nachdem was ihr angesprochen habt.

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@mathecoach
Wie ist die Aufgabenstellung zu verstehen ?
Berechnen Sie schrittweise die Schnittpunkte der beiden Graphen (ohne GTR). 

Also kann ich mir die/den Graphen zeichnen lassen, die ungefähren Schnittpunkte
ermitteln und dann ein Näherungsverfahren zu Fuß zur Berechnung anwenden ?

Interpretieren Sie jede Umformung von f(x) = g(x) grafisch als Schnittproblem.
Was bedeutet das ?

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Hier einmal die Graphen

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x⁴+x²+2f₂(x) = x³-3·x+2

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Danke für die schnelle Antwort! wir haben davon noch nichts angefangen.... Zu den Nullstellen: Polynomdivision (die man da ja dann glaube ich für bräuchte auch noch nicht).... Wie wäre denn der Rechenweg, oder einfach der nächste Schritt, vielleicht kann ichs mir dann herleiten.... Kann man das auch anders lösen als mit Polynomdivision oder GTR, ich kann ja nicht mehr ausklammern, Substitution geht auch nicht. Ich bin planlos.

ginge das so: x ( - x^3 - x^2 + x + 3 )
Darauch könnte ich die Nullstelle 0 entnehmen und daraus ergäbe sich N1 (0/2) könnte ich dann die Polynomdivision so machen:

-x^3 - x^2 + x + 3 / (x - 2) = ....

So müsste das doch gehen (?) wir gesagt, haben Polynomdivision noch nie gemacht, kann es nur theoretisch aus einem Buch.

Den GTR dürfen wir nicht verwenden, da unser ABI 2017 GTR-frei ist

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Schrittweise könnte hier die Anspielung auf ein Näherungsverfahren sein.

Interpretieren Sie jede Umformung von f(x) = g(x) grafisch als Schnittproblem. 

- x⁴ + x² + 2 = x³ - 3·x + 2

Die rechte Funktion schneidet die Linke

x² + 2 = x⁴ + x³ - 3·x + 2

Die rechte Funktion schneidet die Linke

2 = x⁴ + x³ - x² - 3·x + 2

Die rechte Funktion schneidet die Linke

0 = x⁴ + x³ - x² - 3·x + 0

Die rechte Funktion schneidet die Linke

So kann man es verstehen. Ich weiß aber nicht ob es so gemeint ist.

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@Fragesteller
Vorbemerkung : Falls deine Umformungen stimmen
x ( - x³ - x² + x + 3 )
ist eine Lösung schon einmal x = 0

Jetzt könnte für
- x³ - x² + x + 3  = 0
das Newtonverfahren verwendet werden.
Habt ihr das Verfahren schon gehabt ?

oder mit Intervallen
( Beispiel )
x = 0.5 Term ist positiv
x = 1.0 Term ist positiv
x = 1.5 Term ist negativ
Also ist zwischen x = 1 und x = 1.5 der
Wert irgendwo 0.
Und so kann man sich weiter herantasten.
Habt ihr das schon einmal gemacht ?

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Nein davon haben wir noch gar nichts gemacht... Ich glaube meine Lehrerin hat sich mit den Aufgabenstellungen vertan. Das sollten nämlich Übungsaufgaben für eine Klausur sein. Naja.
Nullstellen haben wir immer nur durch den Satz vom Nullprodukt, Substitution, ABC-Formel, oder Wurzel ziehen berechnet.

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Ich denke auch die Aufgabe passt nicht so ganz zu eurem
Kenntnisstand. Auch für mich ist die recht Aufgabe merkwürdig.

Wenden wir uns noch der letzten Teilaufgabe zu.

Wann ist der Unterschied zwiwschen f und g am größten ?
Wann ist f minus g am größten. Oder noch genauer
Wann ist der Betrag von | f - g | am größten ?

d ( x ) = -x⁴ - x^3 + x² + 3x
Max ist gesucht

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x⁴-x³+x²+3·x

Der Graph zeigt ein Maximum bei ca x = 1 und
2 sogenannte Randmaxima an den Grenzen
des Intervalls bei x = -2 und x = 2.

Hier könnte man den Funktionswert ausrechnen
und dann damit die Stelle des größten Unterschieds
bestimmen.

Wie man allerdings ohne " Graph " auf diese Lösung
kommt wüßte ich nicht.

Die Aufgabe wird hoffentlich noch in der Schule besprochen.
Du kannst ja einmal mitteilen was gesagt wurde.

Answer 1

$$-x^4 + x^2 + 2 = x^3 - 3x +2$$
nix Näherungsverfahren!
 $$-x^4 + x^2 = x^3 - 3x$$
 $$-x^4 + x^2 - x^3 + 3x=0$$
x vorklammern (Distributivgesetz und Nullproduktregel)
 $$( -x^3 + x - x^2 + 3) x=0$$
 $$x_1=0$$
 $$-x^3 + x - x^2 + 3=0$$
erste Nullstelle durch Teilertest des Absoluten Gliedes finden:
$$x_?= \pm1$$
oder
$$x_?= \pm3$$

Comments

Wenns nicht aufgeht, hat entweder der Aufgabenautor oder der Fragesteller beim Erstellen oder Abschreiben einen Vorzeichenfehler gemacht.

Gaaaanz selten sind solche "unlösbaren" Polynomgleichungen wirklich allen Ernstes so gemeint.