Ermitteln sie rechnerisch, wie die Höhe h und Durchmesser d des Zylinders zu wählen sind (Extremwertaufgabe)

Question

Aufgabe:

Ein oben offener Stahlbehälter soll aus einem geraden Zylinder und einem kreiskegelförmigen Boden zusammengesetzt sein.

Ermitteln sie rechnerisch, wie die Höhe "h" und Durchmesser "d" des Zylinders zu wählen sind, wenn bei einem Fassungsvermögen von 10 m³ möglichst wenig Stahlblech verbraucht werden soll und die Höhe des Kreiskegels halb so groß wie sein Durchmesser ist.

Lösung:

"h" Höhe Zylinder = 0,67 m

d= 3,24m

Höhe Kegel = 1,62m

Gesamthöhe wäre : Höhe Zylinder + Höhe Kegel.

Hauptbedingung : Oberfläche vom Zylinder nehmen ?

Nebenbedingung : 10= Volumenformel für Zylinder nehmen?

Habe es schon versucht, kam aber immer auf ein falsches Ergebnis. Unser Lehrer meinte, es würde nur mit dem Strahlensatz funktionieren. Bitte um Hilfe beim Rechenweg.

Answer 1

Ich musste mir das erst mal anschaulich vorstellen

" Ein Bild sagt mehr als tausend Worte. "

Vielleicht mal der Kegel ins Unreine gedacht. Sein Öffnungswinkel beträgt 45 ° ; Höhe = Radius. Dann ist seine Mantellinie = Radius * Wurzel ( 2 ) Nur falls du auf meine Ansätze Verständnis los reagieren solltest.

Der Kegel wird alleine beschrieben durch die Variable r = Radius, weil ja Kegel und Zylinder das selbe r haben; lediglich bei dem Zylinder kommt ein h ins Spiel.

O ( Keg ) = r s = r ² sqr ( 2 )   ( 1a )

O ( Zyl ) = 2 r h    ( 1b )

O ( h ; r ) = O ( ges )  ( r ; h ) = r ² sqr ( 2 )  + 2 r h   = min ( 1c )

Jetzt das Volumen  

V ( Zyl ) = r ² h   ( 2a )

V ( Keg )   = 1/3 r ³   ( 2b )

3 V ( ges ) ( r ; h ) = r ³ + 3 r ² h  = const   ( 2c )

    Mal eine kleine Vorrede in eigener Sache. In den letzten Tagen wurde ich immer wieder gescholten, bei scheinbar ähnlichen aufgabenstellungen denke ich mir " als " neue Tricks und Kniffe aus. Schüler, so hieß es, bevorzugten stereotypes, reproduzierbares Wissen aus dem Lehrbuch. Schon mein Chef witzelte
 
   " Die Eier legende Wollmilch-Sau gibt es nicht. "

    Wer von euch hat den Klassiker ===> " GEB " gelesen ( Gödel , Escher , Bach )
    ===> David Hilbert suchte genau nach dem Nürnberger Trichter, dem Universal-Algoritmus, mit dem du alle Probleme ( gleich gut ) lösen kannst. Spätestens seit Gödel wissen wir, dass für dein eigenes Genie immer noch genug Raum bleibt.
    Ich habe mir nämlich etwas überlegt; wie tun wir diese Funktionen ableiten? Ein ganz schlechter Vorschlag wäre umstellen nach h und einsetzen.  Denn ( 1c;2c ) sind Polynome ( allerdings in zwei Veränderlichen ) ; und dieser Vorteil geht bei diesem sturen einsetzen gerade verloren. Der Klassiker wäre ja das ===> Lagrangeverfahren ( LV ) aber komisch. Immer wenn ich Zylinder berechnen will, produziert Cavaliere Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino extrem schlechte Resultate. Die Rechnung soll kurz und vor allem übersichtlich bleiben.
   Und das zu Lagrange ===> duale Verfahren ist ===> implizites Differenzieren ( ID ) eine Methode, die zudem noch den Vorteil genießt, dass man sie Schülern nicht eigens erklären muss. Du tust jetzt die Ableitung von ( 1c ) ganz normal Null setzen; nur bei der Kettenregel musst du beachten, dass ja h eigentlich eine Funktion von r ist :



  ( dO/dr ) =  r sqr ( 2 ) + h  + r  ( dh/dr ) = 0  ( 3a )


   Wenn nun in ( 2c ) verlangt wird V = const, so ist die Ableitung einer Konstanten eben Falls Null; nachdem wir alles gekürzt haben


     ( dV/dr ) = 0  = r + 2 h + r ( dh/dr )   = 0   ( 3b )


    In ( 3ab )  tust du gleich setzen   r ( dh/dr ) 


    h = r [ sqr ( 2 ) - 1 ]    ( 4 )

Comments

Ich weiß zwar nicht was du mir mit dem text und diesem "const" sagen willst aber ok :D.Bin ja kein Prof sondern nur Schüler XD.  Danke trotzdem.

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Mit dem Begleittext versuchte ich die Situation verständlich zu machen. Vielleicht folgender Vorschlag: In Powerpoint kannst du ( nehm ich mal an ) das Höhenlinienprofil von O und V übereinander legen. Und zwar erzwingt die Nebenbedingung, dass du strikt auf der " Straße " V = const verbleibst; diese also nie verlässt. Dann wirst du fest stellen: Notwendig für Exttemum; dass die beiden Höhenlinien O ( r ; h ) so wie V ( r ; h ) die selbe Tangente haben. Die Ableitung von O ist null, weil wir ein Minimum haben. Und die Ableitung von V ist eben Falls Null, weil V eine Konstante sein soll und die Ableitung einer Konstante Null ergibt.

Ansonsten wurden nur die üblichen ableitungsregeln ( Produktregel; Kettenregel ) voraus gesetzt. Noch Fragen?