Hat diese Funktionenschar nur 2 Nullstellen?

Question

F (x) = 1/3 (x hoch 2 + 2x + 1) (x-a)

Habe jetzt x1 = -1 (doppelte Nst) und x2 = a

Fehlt da noch eine Nullstelle? Vielleicht noch 0 als Nullstelle

Answer 1

f(x) = 1/3·(x^2 + 2·x + 1)·(x - a)

f(x) = 1/3·(x + 1)^2·(x - a)

Die Nullstellen sind wie du sagst bei -1 und a. Das ist ja eine Funktion dritten Grades und die Kann auch nur 3 Nullstellen haben. Achtung. Die doppelte Nullstelle zählt ja für zwei.

Answer 2

F (x) = 1/3 (x hoch 2 + 2x + 1) (x-a)
Habe jetzt x1 = -1 (doppelte Nst) und x2 = a 

Fehlt da noch eine Nullstelle? Vielleicht noch 0 als Nullstelle 

Die letzte Bemerkung läßt sich leicht widerlegen
für x = 0 eingesetzt ergibt sich
f ( 0 ) =  1/3 ( 0  hoch 2 + 2 * 0 + 1) *  ( 0-a) = 1/3 * ( -a )

Der Funktionswert ist also ungleich 0 und damit keine Nullstelle.

Die Funktion kann auch geschrieben als

f ( x ) = 1/3 * ( x + 1)^2 * ( x - a )
oder
f ( x ) = 1/3 * ( x + 1) * ( x + 1 ) * ( x - a )

Die Nullstelle x - a hat die Vielfachheit 1
Die Nullstelle x + 1 hat die Vielfachheit 2

Ob jetzt die Aussage
- die Funktion hat 2 Nullstellen
oder
- die Funktion hat 3 Nullstellen
stimmt müßte man einmal nachschlagen.

a = 2
~plot~ 1/3 * ( x + 1) * ( x + 1 ) * ( x - 2 )  ~plot~