Zeigen Sie, dass (xn) eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Ist (xn) monoton (fallend oder wachsend)?

Question

brauche Hilfe bei der Aufgabe

Die Folge (xn) sei rekursiv definiert durch
x1=1         x_n+1= 1/(1+x_n),   n≥1.

Zeigen Sie, dass (x_n) eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Ist (x_n)

monoton (fallend oder wachsend)?

Hinweis: Zum Nachweis, dass (xn) eine Cauchy-Folge ist, können Sie Satz 2 aus Abschnitt 2.4 der Vorlesung und die anschließende Bemerkung benutzen. 

Comments

Was ist den Satz 2 aus Abschnitt 2.4 und die Bemerkung?

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Vom Duplikat:

Titel: Cauchy-Folge (xn). Ist (xn) monoton (fallend oder wachsend)?

Stichworte: monotonie,grenzwert,cauchy-folge,fallend,wachsend

Aufgabe:

Die Folge (xn) sei rekursiv definiert durch
x1 = 1 xn+1 = 1/1 + xn , n ≥ 1.
Zeigen Sie, daß (xn) eine Cauchy-Folge ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Ist (xn) monoton (fallend oder wachsend)?

Ich weiss, dass diese Aufgabe bereits hier reingestellt wurde. Nur hat keiner wirklich geholfen und brauche Hilfe!!

Wäre echt lieb ich freue mich über jeden Ansatz und jede Löung!!

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Nach über 70 Fragen weisst du doch inzwischen, dass um den Nenner Klammern gehören. https://www.mathelounge.de/user/mathe999/questions Es sollte nicht mehr nötig sein, dass ein Moderator in deinen Fragen fehlende Klammern ergänzen muss. Ausserdem solltest du Hoch- und Tiefstellen gelernt haben.

Answer 1

Hallo

ich nehme mal an, dass xn+1=1/(xn+1) ist, weil das was du schriebst nicht konvergiert!

 hast du die ersten paar Folgenglieder gebildet, dann kannst du doch das monoton beantworten? kannst du 2 monotone Teilfolgen bilden? für die Cauchfolge?

2. wenn ein GW existiert, dann ist g=1/(1+g) weil xn und xn+1 gegen g konvergieren.

Gruß lul

Answer 2

Hi,
das geht mit
https://www.mathelounge.de/185130/beweis-einer-ungleichung-rekursive-folge-a_n-mit-a_1-a_n-a_n
und
https://www.mathelounge.de/238647/zeigen-dass-eine-cauchy-folge-vorliegt#a239690