Vollständige Induktion 2n^3 + 3n^2 + n sei durch 6 teilbar

Question

Hallo

In der Schule müssen wir eine Aufgabe lösen, die ich nicht ganz verstehe

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 2n ³ + 3n ² + n immer 6 teilt.

Wie muss ich nun hier vorgehen?

Comments

Überlege zunächst den Induktionsanfang. Wenn die Aufgabe nichts zum Startargument sagt, nimmst du \(n=0\), das ist am einfachsten.

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Hi bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe!

Das hier habe ich bis jetzt gemacht. Aber ich bräuchte jemanden der mir das "zuende" bringt. Weiß nicht mehr was ich noch umformen soll.

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Sicher, dass du einen Induktionsbeweis machen musst?

Versuche mal das Polynom zu faktorisieren und diskutiere die Faktoren.

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Kp um ehrlich zu sein:D Was meinst du mit faktorisieren? Einfach eine 6 vorklatschen? dann ist es durch 6 teilbar jo. Aber das ist doch zu einfach. Oder kannst du mir schreiben wie du das meinst bzw. nen Bild schicken?

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2n^3 + 3n^2 + n

= n ( 2n^2 + 3n + 1)

und dann weiter zur ersten alternate form hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2n%5E3+%2B+3n%5E2+%2B+n 

Da n und n+1 in der Faktorisierung vorkommen, muss der gegebene Term durch 2 teilbar sein.

Vielleicht kannst du auch noch erklären, warum der Term auch durch 3 teilbar sein muss. Wenn nicht, kannst du immer noch eine vollst. Induktion für Teilbarkeit durch 3 ins Auge fassen.

https://www.mathelounge.de/242224/vollstandige-induktion-2n-3-3n-2-n-sei-durch-6-teilbar

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n ausklammern, dann den quadratischen Resterm zerlegen:

n·(n + 1)·(2·n + 1) = 2n³ + 3n² + n

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hmm k. Aber somit habe ich nur gezeigt, dass es durch 2 teilbar ist. Eine Zahl die durch 6 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar. BIn ich jetzt somit schon fertig? Und was zur Hölle ist das für eine Matheseite:D

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Da hatte ich das schon mal mit vollständiger Induktion gezeigt

Behauptung

2·n^3 + 3·n^2 + n ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

2·1^3 + 3·1^2 + 1 = 6

wahr, da 6 durch 6 teilbar ist

Induktionsschritt: n --> n + 1

2·(n + 1)^3 + 3·(n + 1)^2 + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + 3·(n^2 + 2·n + 1) + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 9·n^2 + 13·n + 6 ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 3·n^2 + 6·n^2 + n + 12·n + 6 ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + (6·n^2 + 12·n + 6) ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + 6·(n^2 + 2·n + 1) ist durch 6 teilbar

Der linke Summand ist wegen der Induktionsannahme durch 6 teilbar und der rechte Summand ist durch 6 teilbar weil er den Faktor 6 enthält.

Answer 1

Behauptung

2·n^3 + 3·n^2 + n ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

2·1^3 + 3·1^2 + 1 = 6

wahr, da 6 durch 6 teilbar ist

Induktionsschritt: n --> n + 1

2·(n + 1)^3 + 3·(n + 1)^2 + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + 3·(n^2 + 2·n + 1) + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 9·n^2 + 13·n + 6 ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 3·n^2 + 6·n^2 + n + 12·n + 6 ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + (6·n^2 + 12·n + 6) ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + 6·(n^2 + 2·n + 1) ist durch 6 teilbar

Der linke Summand ist wegen der Induktionsannahme durch 6 teilbar und der rechte Summand ist durch 6 teilbar weil er den Faktor 6 enthält.

Answer 2

Induktionsanfang: n = 1: 2 * 1³ + 3 * 1² + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.

Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: (2n³ + 3n² + n)/6 ∈ ℕ

Induktionsbehauptung: (2(n+1)³ + 3(n+1)² + n + 1)/6 ∈ ℕ

Beweis: Wir sagen was hier x ist: 2n³ + 3n² + n + x = 2(n+1)³ + 3(n+1)² + n + 1. Das muss durch 6 teilbar sein.

Das x ist hier nach einer Umformung: x = 6n² + 12n + 6. Und da wir hier nur Vielfache von 6 haben, ist diese Zahl durch 6 teilbar.