Natürlich sind alle Formen auseinander herleitbar, also enthält keine Form mehr Informationen als die anderen - aber für manche Anwendungen sind manche Formen einfach besonders gut geeignet.
So ist die Achsenabschnittsform (wie der Name schon sagt) quasi dafür prädestiniert, die Achsenabschnitte einer Ebenen im Raum bzw. Gerade in der Ebenen zu finden.
Parameterform und Koordinatenform unterscheiden sich darin, dass es bei der Parameterform sehr einfach ist, Punkte auf der Geraden zu erzeugen aber sehr schwer zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt darauf liegt, umgekehrt bei der Koordinatenform; da kann man sehr leicht Punkte einsetzen, um zu prüfen aber das Finden eines Punktes kann beliebig schwierig werden.
Die Normalform ist eigentlich nur eine kompakte Darstellung der Ebene und außerdem ein Übergangsschritt bei der schnellen Umformung von Parameterform in Koordinatenform.
Außerdem ergibt sich aus der Normalform aber die Hessesche Normalform, mit der man besonders einfach Abstände von Ebenen und Punkten ausrechnen kann.
Wenn man also erstmal das Prinzip der einzelnen Formen verstanden hat, ist es eigentlich relativ einfach, die Strukturen zu behalten:
Parameterform: Ein Stützvektor a, zwei Richtungsvektoren b und c => x = a + κ*b + λ*c
Daraus ergibt sich die Normalform, in dem man einen Stützpunkt wählt (z.B. a) und einen Vektor, der senkrecht auf der Ebenen steht, z.B. n =b x c => (x-a)*n=0
Multipliziert man das in die Komponentenschreibweise nach den Vektorgesetzen aus, so erhält man die Koordinatenform.
(Sei n=(n1, n2, n3), x=(x, y, z) und n*a = μ)
=> n1*x + n2*y + n3*z = µ
Die hessesche Normalform erhält man schließlich, wenn man die Normalform zusätzlich durch den Betrag von n dividiert, also
(x-a)*n/n = 0
Setzt man in den linken Term einen beliebigen Punkt x ein, so erhält man seinen Abstand zur Ebenen. (Für alle Puknte auf der Ebene ist das 0, also die Gleichung erfüllt.)
