WIe funktionieren Homorphismen in zyklischen Gruppen?

Question

 

ich bin leider hoffnungslos überfordert herauszufinden, wie Homorphismen funktionieren.

In der Definition steht ja, dass φ(a°b) = φ(a)•φ(b) ist.

 

Jetzt haben wir in der Vorlesung folgendes Beispiel gegeben bekommen:

 

ℤ₄ ---> ℤ₂ . Also zu dieser ABbildung haben wir folgenden Homomorphismus gebildet:

{0--->0,1--->1,2---->0,3---->1} für 0 und 1kann ich es ja noch nachvollziehen, da φ(0+₄0)= φ(0)+₂φ(0) = 0

Aber spätestens bei 2 hört meine vorstllungskraft auf, da 2 ja in ℤ₂ nicht vorhanden ist sondern statdessen nur die 0.

Also ist doch φ(1+₄1)= 2  ≠ φ(1)+₂φ(1) = 0 und erst recht für drei kann mir jemand weiterhelfen?

 

Answer 1

Deine Antwort zu φ(1+1) ist falsch.

Ein Homomorphismus bedeutet ja nur, dass es irrelevant ist, ob du zuerst verknüpfst und dann φ anwendest oder andersrum. Im og. Fall ist φ(1+1)=φ(2)=0=1+1=φ(1)+φ(1). Die Abbildung ist also eindeutig ein Gruppenhomomorphismus, du hast nur falsch gerechnet ;D

Comments

Nun, das verstehe ich nicht. In der Definition steht doch, dass der zweite Operator auch von der zweiten Gruppe kommen muss.

Das heisst, dass φ(1+₄1)= 2 sein muss und äquivalent dazu aus der anderen Gruppe φ(1)+₂(1) sein. Aber das ist doch eifnach nicht der Fall... Oder ist, wenn man die gruppen vergleicht und zwei in die +₂ Gruppe einsetzt 2 = 0. Dann wäre das ganze ja klar.

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Vorsicht du hast vergessen φ anzuwenden φ(1+₄1)= φ(2)= 0 und φ(1)+₂ φ(1)= 1+₂ 1=0

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Ah verstehe! Ja also es wurde halt in der letzten vorlesung nur ganz ganz kurz geschnitten das thema

und jetzt muss man hier ein ganzes Übungsblatt solcher Aufgaben lösen.

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Noch eine Frage kann mn denn φ frei bestimmen? Also ich meine

könnte ich auch von vornerein sagen φ(1) = 0 ?

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Jaaa soo nun habe ich es aber wirklich verstanden, wäre ψ(3) = 0 so würde das ganz nicht mehr aufgehen für ψ(2+1) weil das wäre 0+1 = 1 und somit wäre das ganze nicht mehr homomorph.

Puhhh.... ganz schönes gehirnjoggin

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Das ist richtig ;D Ich wünsch dir noch viel Spaß mit homomorphismen ;D

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merci beaucoup ;)