Streifen für Parabelsegment

Question

Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite b = 2 wandert auf der x-Achse
entlang und bestimmt damit ein Parabelsegment für die gegebene
Normalparabel f(x) = x2. Für welchen Streifen ist die Fläche des Segments
maximal?
Hilfe: die Fläche innerhalb des Streifens und unterhalb der Parabel berechnet
sich nach A= 1/3(z+2)³- 1/3z³, wobei z ein beliebiger Anfangswert (x-Wert) des
Streifens ist und der Streifen dann bei z+2 endet.

Die Funktion, die in der Hilfe angegeben ist berechnet ja die dunkle Fläche und die darunter, jedoch möchte man, dass nur die dunkle Fläche maximal wird. Heißt das jetzt, dass ich das Integral von x^2 zusätzlich abziehen muss, wenn ich die Grenzen habe? Weil das sollte doch schon - 1/3z³ machen oder nicht?

Meine Idee war jetzt die die erste Ableitung der Funktion oben Null zu setzen. Dann kommt man auf z=-1. Aber was mache ich jetzt?

Comments

"Die Funktion, die in der Hilfe angegeben ist berechnet ja die dunkle Fläche und die darunter, ..."

Nein, die Funktion aus der Hilfe berechnet die innerhalb des Streifens gelegene Fläche zwischen x-Achse und Parabel.

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Noch etwas. Du musst eine Funktion für die Berechnung des Parabelsegmentes (der dunklen Fläche) aufstellen. Also etwas in der Form S(z) = T(z) − A(z).

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Das wäre dann ja die Fläche unter dem Graphen, also müsste ich die Funktion integrieren oder?

Welche Grenzen muss ich jetzt nehmen? Ich dachte an z und z+2, aber das ist ja schon in der Funktion...

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Die Fläche zwischen der Geraden und der x-Achse ist ein Trapez der Breite 2. Das muss man nicht unbedingt durch Integration berechnen.

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Du bemerkst sicher das eine Stammfunktion von

f(x) = x^2

F(x) = 1/3 * x^3

ist. Damit ist hier

A = F(z+2) - F(z)

also die Fläche zwischen Parabel und x-Achse im Intervall von z bis z+2. Hier brauchst du nichts mehr integrieren, weil es bereits gegeben ist.

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A(z) ist gegeben und T(z) ist ein Trapez. Da muss nichts integriert werden.

Answer 1

f(x) = x^2
F(x) = 1/3 * x^3

Die Fläche berechnet sich aus der Trapezfläche minus der Fläche unter dem Graphen..

A(z) = 1/2 * (f(z) + f(z+2)) * 2 - (F(z+2) - F(z))
A(z) = z^2 + (z + 2)^2 - (1/3 * (z + 2)^3 - 1/3 * z^3) = 4/3

Huch demnach wäre die dunkle Fläche immer 4/3. Egal wo der Streifen beginnt.