Limes mittels Riemánnscher Summen als bestimmtes Integral schreiben

Question

Ich hoffe hier auf Hilfe von euch. danke.

Answer 1

$$ \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{k(n-k)}  =  \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{ \frac{k}{n} \left(   1- \frac{k}{n}\right) }$$

D.h. man kann \( f(x) = \sqrt{x(1-x)} \) wählen, in dem man das Intervall \( [0,1] \) in n Teile der Länge \( \frac{1}{n} \) zerlegt. Jetzt nur noch das Integral ausrechnen.

Comments

Verstehe ich leider nicht so ganz. Wie teile ich das intervall denn in n teile und wie sieht dann das Integral aus?

---

Ah man rechnet das integral von f (x) dx über den Grenzen 0, 1 das ist pi/8 und der grenzwert von dem anderen ist auch pi/8?!

---

Hi,
wenn man das Intervall \( [0,1] \) in \( n \) äquidistante Teile zerlegt, ist jedes Teilstück \( \frac{1}{n} \) lang. Das Riemann Integral der Funktion \( f(x) \) lautet, wenn man Untersummen verwendet
$$ \int_0^1 f(x) dx = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1} ) \inf_{x_{k-1} < x < x_k } f(x) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n  \inf_{x_{k-1} < x < x_k } \sqrt{x(1-x)}  $$ mit \( x_k = \frac{k}{n}  \)
Reicht das als Tipp?

---

Alos mein CAS Programm sagt, dass Ergebnis ist \( 2 \pi \)