Question

Sei F : ℝ ³ → ℝ ³ das Vektorfeld F(x, y, z) = (xy² , x² y, y) und M die geschlossene Zylinderfläche

M = {x ² + y ² = 1, − 1 ≤ z ≤ 1} ∪ {x ² + y ² ≤ 1, z = ±1}.

Berechnen:  mit Hilfe des Divergenzsatzes von Gauss das Flächenintegral

$$\int _{ M }^{  }{  } \left< c×r,n  \right>  dS$$

wobei n der nach außen zeigende Einheitsnormalenvektor auf M ist. 

Ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen !!!

Comments

Ich habe mal die Formel ein bisschen angepasst, (left und right Befehle entfernt) aber ich bin nicht ganz sicher, ob das wirklich das ist, was du ausrechnen willst. Meinst du vllt

$$\int_M^{} \langle F, n \rangle dS?$$

Answer 1

Der gaußsche Integralsatz sagt dir, dass \(\int_M  \langle F,n\rangle \, dS=\int_{V(M)} \operatorname{div} F(x)\, dx\) ist (dabei ist \(V(M)\) das von \(M\) eingeschlossene Volumen).

Also: \(\operatorname{div} F(x)\) ausrechnen und über \(V(M)\) integrieren. Dazu hilft es, wenn du dir erstmal überlegst, wie \(M\) bzw. \(V(M)\) aussehen und du dann in geeignete Koordinaten transformierst.