Nullstelle kann man mit Monotonie der Funktion erkennen?

Question

Hi ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe wobei man mit Hilfe des Mittelwertsatzes sowie Zwischenwertsatzes feststellen sollte, ob eine Funktion in einem gegebenen Intervall nur eine Nullstelle hat.

z.B bei einer Funktion f(x) = x^4 +3x im Intervall [-2,-1] verstehe ich, dass es eine Nullstelle existiert da f(-2)>0 und f(-1)<0 ist und laut ZWS es auch einen geben muss, jedoch verstehe ich nicht die Erklärung in den Lösungen, dass die Ableitung also f´(x) = 4x^3+3x für [-2,-1] kleiner -1 ist, was bedeutet, dass die Funktion streng monoton fallend und damit eine Nullstelle eindeutig auf dem Intervall drin ist.

Die Frage ist also, wie kann man in manchen Situationen ohne Nachrechnen (also z.B ohne f(x) = 0 auszuprobieren) festellen, ob eine Funktion eine Nullstelle besitzt?

Comments

Stetigkeit is wichtiger als Monotonie, wenn es um die Existenz einer Nullstelle geht.

Wenn du allerdings in einem endlichen abgeschlossenen Intervall eine Ableitung der Funktion hast, ist sie dort auch stetig.

Answer 1

Da f(-2)>0 und f(-1)<0 muss es laut ZWS mind. eine Nullstelle geben.

Da f'(x) < 0 ist die Funktion streng monoton fallend und damit gibt es nur genau eine Nullstelle und nicht mehr Nullstellen.

Man kann also bei einer Funktion wenn es hilft die Extrempunkte und das verhalten zwischen den Extrempunkten bestimmen um eventuell Rückschlüsse auf die Nullstellen zu erhalten.

Comments

z.B wenn eine Funktion f genau ein Maximum und ein Minimum wobei der Max. > 0 und Min. < 0 ist besitzt, dürfte ich auch annehmen dass Zwischen Max. und Minimum eine Nullstelle existiert?

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Ja. Zumindest wenn die Funktion im Intervall der Extremstellen stetig ist.