Optimaler Briefkasten. Thema Extremalprobleme

Question

kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen ?

Fred möchte sich einen Zeitungskasten nach der abgebildeten Vorlage bauen. Er soll ein Volumen von 80 dm³ erhalten und aus Aluminium hergestellt werden. Das Material für die Seitenwände kostet 1 €/dm³. Die quadratische Rückwand ist aus dickerem Material und kostet 2 €/dm³. Der vordere quadratische, aufklappbare Deckel verursacht Kosten in Höhe von 3 €/dm³.

Welche Maße x und y sollten gewählt werden, um die Materialkosten zu minimieren?

Answer 1

Also die Zielgröße ist die Kosten. Um die Kosten zu berechnen muss man die Flächen des Kastens mit den spezifischen Materialpreisen malnehmen.

Rückseite: K_R=x*x*2 €/dm²

Seitenwände: Ks=4*x*y*1 €/dm²

Vorderseite K_V=x*x*3 €/dm²

Gesamtkosten: K=5x² + 4xy

So, jetzt haben wir eine Funktion mit 2 Variablen. Die lässt sich so einfach nicht untersuchen auf Minima oder Maxima. Deswegen brauchen wir auch noch die Nebenbedingung. Die bezieht sich auf das Volumen:

V = x²*y = 80dm^3

y = 80/x²

Jetzt die Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen:

K = 5x² + 4x*80/x²

    = 5x² + 320/x

So jetzt das Minimum bestimmen durch Ableiten und Nullsetzen:

K' = 10x - 320/x² = 0

10x = 320/x²

x³ = 32

x ≈ 3,175

y ≈ 7,937

Comments

Kannst du bitte sagen , wo die Hauptbedingung ist?

---

Die Hauptbedingung, oder auch Zielfunktion ist die Kostenfunktion: K(x,y) = 5x^2+4xy. Die Hauptbedingung ist immer die Funktion die optimiert werden soll, d.h. die Kosten sollen möglichst klein werden.

---

und wo hast du x eingesetzt damit y rauskommt?

---

Die Nebenbedingung lautet:

V = x²*y = 80dm²

Dies lässt sich umstellen zu:

y = 80/x²

In diese Gleichung kann man das x einsetzen, um y herauszubekommen.

---

Kannst du mir bitte erklären, wie du auf die Gesamtkosten gekommen bist?

Wenn man die einzelnen Kosten in der Formel für den Oberflächeninhalt zusammenfasst, würde doch

2x² + 4xy  rauskommen, oder irre ich mich?

---

Nein es kommt 5x^2+4xy heraus. Bei den Kosten für die Rückseite steht 2x^2 und bei den Kosten für die Vorderseite steht 3x^2. Macht zusammen 5x^2.

---

Müssen in der Nebenbedingung nicht alle Seiten genannt werden, und es so dann quasi : 8xy+8x heißen, weil die Vorder- und Rückwand, ja jeweils 4x haben, und die Seiten dann 8xy, weil ja pro Seite 2x und 2y existieren?

---

4x wären der Umfang, nicht der Flächeninhalt

---

Um die Materialkosten herauszufinden, muss man dann doch die Werte in die Extremalfunktion einsetzen, das wären dann doch um die 151 Euro oder? Und wenn ja, ist es dann für die ganze Fläche, oder nur pro dm^3?

---

Ich komme auf Materialkosten von 92,28 €.

Auf welches Ergebnisse für x und y bist du gekommen?

---

Also x= 3.17 und y=7.96, habe es dann jz in die extremalfunktion eingesetzt, aslo 5x3.17^2 + 4x3.17x7.96

---

Meine Rechnung sieht so aus:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} K &=5 x^{2}+4 x y \\ &=5 x^{2}+4 \cdot \frac{80}{x^{2}} \\ &=5 x^{2}+\frac{320}{x^{2}} \\[15pt] K^{\prime} &=10 x-\frac{640}{x^{3}}=0 \\ & 10 x^{4}-640=0 \\ & 10 x^{4} \quad=640 \\ & x^{4} \quad=64\rightarrow x=2,82843\Rightarrow y = 10 \end{aligned} \)

---

Die Ursprungsfunktion ist ja, 5x^2 + 320x^-1 so sieht der bruch dann „normal“ aus, in der ersten Ableitung also 10x-320x^-2, bzw, 320:x^2, man muss ja Y=80*x^2 einsetzen und das ist dann in der Klammer, wenn man die dann auflöst, bekommt man 5x^2 + 320x^-1

---

Jetzt sehe ich es auch, ich habe ein x ignoriert.

Damit sind die Gesamtkosten

Rückseite = \( 3,175^{a2}\cdot 2=20,16 \)

Seitenwände = \(4\cdot 3,175\cdot 7,937=100,80\)

Vorderseite = \(3,175^2\cdot 3=30,24\)

Macht zusammen 151,20 Euro für die gesamte Fläche.

---

Jo stimmt dann so

---

das wären dann doch um die 151 Euro oder?

Ich komme auf Materialkosten von 92,28 €.

Die Materialkosten können nicht berechnet werden, weil die Materialdicke unbekannt ist.

man muss ja Y=80*x² einsetzen

y = 80/x²

---

Die Dicke müsste ja irrelevant sein, da der Preis doch daran angepasst wurde, und ich habe mich da verschrieben, irrelavant bei meiner rechnung