Vektorraum und Untervektorraum K^3

Question

1.) weiss ich nicht wie ich es zeigen soll, intuitiv is es mir klar, dass durch Linearkombinationen, also durch eine Konstante mal 1 auf jeder Komponente des Vektors jede Zahl als Ergebnisse herauskommen kann, wie zeige ich das aber mathematisch?

2.) Habe ich gefunden lamda 3=-lamda 1 und lamda 2= lamda 1

3.) Muss ich einfach die 8 Vektoren angeben aus der Menge {0,1}^3

4.) Die Anzahl in V ist mir durch Kombinatorik klar, wie zeige ich es aber beim Unterraum?

Answer 1

Zu der ersten Aufgabe: Du musst zeigen, dass du jeden Vektor in \(W\) darstellen kannst als Linearkombination von \(\underline{v}_1\) und \(\underline{v}_2\). D.h. du nimmst einen beliebigen Vektor \(\underline v\in W\) und zeigst, dass es dann \(\lambda_1, \lambda_2\in\mathbb R\) gibt mit \(\lambda_1\underline v_1+\lambda_2\underline v_2=\underline v\).
Außerdem musst du noch zeigen, dass \(\underline{v}_1\) und \(\underline{v}_2\) nicht einen größeren Raum als \(W\) erzeugen, d.h. dass jede Linearkombination von diesen beiden Vektoren tatsächlich in \(W\) liegt.

Schneller geht es, wenn man "sieht", dass \(W\) zweidimensional ist. Damit ist dann jede linear unabhängige zweielementige Teilmenge von \(W\) eine Basis von \(W\). Man muss dann also nur zeigen, dass \(\underline{v}_1\) und \(\underline{v}_2\) in \(W\) liegen und linear unabhängig sind.

Zweite Aufgabe: Streng genommen musst du noch ein konkretes Beispiel für \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) angeben; so, wie es jetzt dasteht, könnten ja trotzdem noch alle drei Null sein.

Dritte und vierte Aufgabe: Was ist denn \(V\)?

Comments

V ist der Vektorraum.

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Welcher Vektorraum?

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Ja ich nehme an, der der in der Aufgabe steht also K³

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Eigentlich sollte irgendwoe definiert sein, was \(V\) ist, sodass man nichts "annehmen" muss.
Nun gut, dann definieren wir also \(V:=\mathbb K^3\).
Dein Ansatz 3. ist dann richtig: Es ist \(V=\{0,1\}^3\) (zusammen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation).
Zu der vierten Aufgabe: Kennst du den folgenden Satz: "Sei \(\mathbb K\) ein Körper mit \(q\) Elementen und \(V\) ein \(d\)-dimensionaler Vektorraum über \(\mathbb K\). Dann enthält \(V\) genau \(q^d\) Elemente."

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Nein den Satz habe ich noch nicht angetroffen

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Der Beweis dieses Satzes ist übrigens nicht schwer, wenn man die Koordinatendarstellung von Vektoren benutzt.

Aber dann machen wir es anders: Wie viele Möglichkeiten hast du denn, die erste Koordinaten eines Vektors in \(W\) zu wählen (wenn die anderen beiden Koordinaten noch beliebig sind)?

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p Möglichkeiten

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Genau.
Wenn du die erste Koordinaten schon gewählt hast, wieviele Möglichkeiten gibt es dann noch für die zweite Koordinate?
Und danach: Wieviele Möglichkeiten gibt es für die dritte Koordinate?

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Ja bei einem muss es die Möglichkeit p sein und bei der letzten Komponente muss es dann 1 sein weil man dort schauen muss, das x+y+z=0 stimmt das?

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Beides richtig. Und mit diesen Informationen kannst du jetzt auch die Anzahl der Vektoren in \(W\) bestimmen.

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Okay gut dankeschön für die Geduld :)

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Was ich übersehen habe in der Aufgabe war bei d.) wieso muss p Primzahl sein? Unser Prinzip von oben würde ja immer gehen nicht nur bei Primzahlen

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Stimmt die Erklärung, dass es nur ein Körper ist, wenn p eine Primzahl ist ?

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Ja. \(\mathbb Z/p\mathbb Z\) ist genau dann ein Körper, wenn \(p\) eine Primzahl ist.