Integration in Polarkoordinaten

Question

wir haben folgende Aufgabe:

Ich habe sie probiert auszurechnen und bin bis zu folgendem Schritt gekommen, wo ich die kartesischen Koordinaten durch Polarkoordinaten ersetzt habe:

Aber wie integrier ich das nun? r ist ja in der aufgabe definiert und wenn ich x, y und z in r durch Ausdrücke in Polarkoordinaten ersetzen will, kommt r ja wieder vor, weil ja die Umrechnung in die Polaarkoordinaten folgedermassen lautet:

Answer 1

$$r= \sqrt{x^2+ y^2 + z^2}$$
 $$r=R \cdot \sqrt{( \sin \Theta \cdot \cos \phi)^2+ (\sin \Theta \cdot \sin \phi)^2+ ( \cos \Theta)^2}$$

Beachte :

R ist der Spitzenwert während r der variable Wert ist.

R ist also konstant!

Answer 2

Bei deinem Integral mit Polarkoordinaten passt die Reihenfolge der oberen Integrationsgrenzen nicht zu der Reihenfolge der Integrationsvariablen.

r wird von 0 bis ∝ integriert,

Θ wird von 0 bis π integriert und

φ wird von 0 bis 2π integriert.

Es gilt:

$$\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }\sin { \Theta } ~dr } ~d\Theta } ~d\varphi } =\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } \left( \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }~dr } \right) \left( \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \Theta } ~d\Theta } \right) \left( \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ d\varphi } \right)$$

Berechnet man die Integrale, erhält man:

$$\quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 } ~dr } ={ \left[ -\frac { 2a{ r }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }r+{ a }^{ 3 } }{ 4 } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } } \right] }_{ 0 }^{ \infty }=\frac { { a }^{ 3 } }{ 4 }$$

$$\quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \Theta } ~ d\Theta } ={ \left[ -\cos { \Theta } \right] }_{ 0 }^{ \pi }=2$$

$$\quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ d\varphi } ={ \left[ \varphi \right] }_{ 0 }^{ 2\pi }=2\pi$$

Somit erhält man abschliessend:

$$\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }\sin { \Theta } ~ dr } ~ d\Theta } ~ d\varphi } =\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } \cdot \frac { { a }^{ 3 } }{ 4 } \cdot 2\cdot 2\pi =1$$

Was zu zeigen war.

Nebenbei bemerkt: Die Wellenfunktion des 1s-Orbitals hängt nur von r ab. Deshalb ist das 1s-Orbital auch kugelsymmetrisch. Dass die Norm der Wellenfunktion gleich 1 sein muss, bedeutet anschaulich, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein 1s-Elektron irgendwo im gesamten Raum (r von 0 bis ∝) angetroffen wird, gleich 1 ist.