zum Verständnis von Dimension

Question

Ich habe gelernt, dass die Dimension unendlich ist, wenn es keine endliche Basis von V(=Vektorraum) gibt. Und wenn es eine endliche Basis gibt ist die Dimension r also die Menge der Elemente in dieser Basis.

Ist dann die Dimension von R^2 als R-Vektorraum = 2 weil die Basis aus den Elementen e₁und e₂ besteht?

Ist die Dimension von R dann unendlich?

Was ist die Dimension von C^2 als R-Vektorraum und wie wäre es wenn wir den C-Vektorraum betrachten?

Kann mir jemand bei diesen Problemen weiterhelfen?

Answer 1

Hi Dabi,

Ist dann die Dimension von R² als R-Vektorraum = 2 weil die Basis aus den Elementen e₁und e₂ besteht?

Es gibt nicht die Basis, aber ja, die Dimension über \(\mathbb{R}\) ist 2 da du eine Basis mit 2 lin. unabh. Vektoren aufstellen kannst.

Ist die Dimension von R dann unendlich?

Nein sie ist 1 (über \(\mathbb{R}\)). Über \(\mathbb{Q}\) wäre die Dimension von \(\mathbb{R}\) als Vektorraum unendlich.

Was ist die Dimension von C² als R-Vektorraum und wie wäre es wenn wir den C-Vektorraum betrachten?

\(\mathbb{C}^2\) hat über \(\mathbb{C}\) die Dimension 2 und über \(\mathbb{R}\) die Dimension 4.

Gruß

Comments

Was ist die Dimension von C² als R-Vektorraum und wie wäre es wenn wir den C-Vektorraum betrachten? 

C2 hat über C die Dimension 2 und über R die Dimension 4.

Danke schon mal für die Antwort, wieso weiss man aber, dass die Dimension 2 bzw. 4 ist? Gibt es da eine Formel oder wie kann ich mir das vorstellen?

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Wie du selber schon gesagt hast erkennt man das an der Anzahl der Elemente einer Basis. Der VR hat aber über C eine andere Basis (auch bzgl. der Anzahl der notwendigen Vektoren) als über R.
Inbesondere wird C als R-VR mit dem R^2 identifiziert und hat Dimension 2.
Beispiel: Als C-VR hat C zum Beispiel die Basis {1}  Als R-VR reicht jedoch nicht eine komplexe Zahl aus um alle komplexen Zahlen zu erzeugen. Eine Basis wäre {1,i}.