Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichung

Question

Ich habe folgende Gleichung vor mir:

x⁴-1=0

Ich habe zwar als Nullstelle Z₁=1 und aus der Polynomdivision hat sich diese Gleichung ergeben

x³+x²+x+1=0

jetzt wollte ich weiter machen aber ich finde hier keine Nullstelle, ab hier weis ich nicht mehr weiter.

Ich weiß nur das ich noch komplexe Zahlen als Nullstellen bekommen sollte, nur ich weiß nicht, wie ich da richtig vorgehen muss.

Comments

Hi, vergiss das Werkzeug "Polynomdivision" bei Polynomen, die sofort in ihre offensichtlichen Linearfaktoren zerlegt werden können!

Answer 1

dieser Weg ist möglich:

Comments

Danke aber wieso funktioniert es mit der Polynomdivision nicht? Ich habe einfach mal der 2. Gleichung mit x+1 eine Polynomdivision durchgeführt und es kommt x²+1 raus und somit könnte ich die komplexen Nullstellen berechnen. Aber diese -1 ist keine Nullstelle der 2. Gleichung, irgendwie stehe ich aufm Schlauch :D

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Aber diese -1 ist keine Nullstelle der 2. Gleichung,...

Nicht?

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hat sich erledigt danke :D

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Ach!              

Answer 2

Faktorisiere nach der dritten binomischen Formel
$$ x^4-1 = \left(x^2-1\right)\cdot\left(x^2+1\right) = \left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-\text{i}\right)\cdot\left(x+\text{i}\right) $$und lies die Nullstellen ab.