Lösungen der Gleichung irrational?

Question

Zu Zeigen: Die Lösungen der Gleichung ax² + bx + c = 0 sind für alle ungeraden a; b; c ∈ ℤ

irrational.

Meine Idee für a,b,c eine allgemeine ungerade Zahl einsetzten a= 2k +1 , b= 2r +1, c=2s +1

(2k+1) * x^2 + (2r +1) * x +(2s +1) =0

Glaube aber, dass es keine gute Idee ist

Comments

Hilfe wäre eine wahre Freude ;)

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Das würde ja heissen, dass die Diskriminante b^2 - 4ac keine (nichtnegative) Quadratzahl sein kann.

Offensichtlich ist die Diskriminante ungerade.

Answer 1

nehme an es gäbe eine rationale Nullstelle, dann muss die andere Nullstelle ebenfalls rational sein.

Dann müsste es eine Zerlegung geben:

$$ ax^2 +bx +c = (rx+s)(tx+u) $$

wobei \(r,s,t,u\) ganze Zahlen sind.

Versuche dies zum Widerspruch zu führen.

Gruß

Answer 2

Ich denke, es stimmt so nicht ganz. Beispiel:
x² + x + 1 = 0
Die Lösungen
x₁ = (-1 + √3 * i) / 2
x₂ = (-1 - √3 * i) / 2
sind beide nicht reell und somit auch nicht irrational.

Ich zeige mittels indirektem Beweis, dass für alle ungeraden a; b; c ∈ ℤ die Lösungen der Gleichung
ax² + bx + c = 0
nicht rational sind.

Annahme: x sei rational. Dann lässt sich x in der Form
x = m/n      ;      m; n ∈ ℤ
darstellen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien m und n teilerfremd. D.h., m und n können nicht beide gerade sein. Die quadratische Gleichung lautet dann:

a*m²/n² + b*m/n + c = 0                 | * n²
a*m² + b*m*n + c*n² = 0

Die drei Summanden auf der linken Seite der letzten Gleichung sind ganze Zahlen. Da a, b und c ungerade sind, bestimmen ausschließlich m und n, ob ein Summand gerade oder ungerade ist.

1. Fall: m und n sind ungerade:
a*m², b*m*n, c*n² sind ungerade
Die Summe dreier ungerader Zahlen ist ungerade und somit ungleich Null.

2. Fall: m ist gerade und n ist ungerade:
a*m² sowie b*m*n sind gerade
c*n² ist ungerade
Die Summe zweier gerader Zahlen und einer ungeraden Zahl ist ungerade und somit ungleich Null.

3. Fall: m ist ungerade und n ist gerade:
a*m² ist ungerade
b*m*n sowie c*n² sind gerade
Die Summe einer ungeraden Zahl und zweier gerader Zahlen ist ungerade und somit ungleich Null.

In jedem Fall ist die Summe auf der linken Seite der letzten Gleichung eine ungerade Zahl und somit ungleich Null. Dieses ist im Widerspruch zur rechten Seite der letzten Gleichung, welche gleich Null ist. Somit muss die Annahme, dass die Lösung x eine rationale Zahl ist, falsch sein. Was zu beweisen war.