Interpolation: Berechne mit dem Newton-Verfahren ein Polynom p(x) von Grad ≤ 4. Stützstellen (-2,12),…

Question

Wie rechnet man das? Kann mir jemand dabei helfen, danke.

a) Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren ein Polynom  p(x) von Grad ≤ 4 mit den Stützstellen (-2,12), (-1,6), (0,2), (1,0) und (2,24).

b) Berechnen Sie p(x) wie in a) nochmals mit dem Lagrange-Verfahren.

Comments

  allgemeines Polynom 4.Grades : a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e

  für die erste Stützstelle ergibt sich

  p(-12) = a*(-12)^4 + b*(-12)^3 + c*(--12)^2 + d*(-12) + e

  Du hast 5 Variable a,b,c,d,e und 5 Gleichungen/Stützstellen, also dürfte das Gleichungssystem lösbar sein.

  Warum das Newtonsche Nährungsverfahren verwendet werden soll weiß ich nicht.

  mfg Georg

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Hier ist vermutlich nicht das Newtonsche Näherungsverfahren gemeint.

Answer 1

So hier mal die Berechnung des Polynoms mit dem Newtonschen Interpolationsverfahren. Wie es prinzipiell funktioniert schlägst Du bitte in einer Formelsammlung oder bei Wikipedia nach.

Answer 2

Hallo

Die Gausssche Interpolationsformel für Polynome 4. Grades (5 Stützstellen) mit gleichabständigen (!) Stützstellen führt auf das gleiche Ergebnis, wenn man 5 Glieder des Polynoms entwickelt:

p4(x) = p4(x0 +t*h) = y0

                                   +(y1 -y0) * (t über 1)

                                   +(y1 -2*y0 +y_1)  * ( t über 2)

                                   +(y2 -3.0*y1 +3.0*y0 -y_1) * ( t +1 über 3)

                                   +(y2 -4*y1 +6*y0 -4*y_1 +y_2) * (t +1 über 4)

In der Aufgabe ist zu setzen:

P_2 (x_2, y_2) = (-2, 12)      P_1(x_1, y_1) = (-1, 6)    P0(x0, y0) = (0,2)    P1(x1, y1) = (1, 0)    P2(x2, y2) = (2, 24)

x0 = 0

sowie der konstante Abstand der Stützstellen:

h = 1

Damit ergibt sich

p4(x) = p4(x0 +t*h) = p4(0+t*1) = p4(t) = y0 +(y1 -y0) * (t über 1) +(y1 -2*y0 +y_1)  * ( t über 2)

+(y2 -3.0*y1 +3.0*y0 -y_1) * ( t +1 über 3) +(y2 -4*y1 +6*y0 -4*y_1 +y_2) * (t +1 über 4)

 = 2 +(0 -2)*(t über 1) +(0 -2*2 +6)*(t über 2) +(24 -3*0 +3*2 -6)*(t+1 über 3) +(24 -4*0 +6*2 -4*6 +12)*(t+1 über 4)

 = 2 -2*t +2*(t*(t -1))/2  +24*(t+1)*t(t -1)/6 +(24)*(t +1)t(t -1)(t -2)/24

 = 2 -2*t +(t^2 -t) +(4t^3 -4t) +(t^3 -t)(t -2)

 = 2 -2t +(t^2 -t) +(4t^3 -4t) +(t^4 -2t^3 -t^2 +2t)

 = t^4 +2t^3 -5t +2

p4(x) = p4(t) => p(x) = x^4 +2x^3 -5x +2