Wie untersucht man Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Question

f: R →R 
  x→5x+1

Ich könnte die Gerade jetzt zeichnen und würde feststellen , dass sie bijektiv ist.
Gibt es aber noch andere Möglichkeiten dies zu überprüfen oder muss man immer zeichnen ?????

Comments

Fragen über Injektivität sind hier nicht allzu beliebt, hier sind einige Erklärungen und Beispielrechnungen: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung

Die Funktion ist Injektiv: Seien m, n∈ℕ f.a.b

∀m,n ∈ ℕ : f(n) = f(m) ⇒ 5n+1=5m+1 ⇒ n=m (du musst die beiden festen aber beliebigen Variablen einsetzten und danach umformen)

Die Bedingung für eine surjektive Abbildung ist y=f(x), mit dem Beweis habe auch ich Probleme

Ich kenne die Funktionen  erst seit gestern, deswegen kann ich keine Gewähr auf meine Tipps geben, bei injektiv bin ich mir allerdings sehr sicher ;)

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@Gast: Warum unbeliebt? Zu diesem Thema gibt es hier hunderte Fragen und Antworten.

Zur Injektivtiät: Wenn du \(\mathbb{N}\) durch \(\mathbb{R}\) ersetzt ist der Beweis der eigentlichen Behauptung in Ordnung.

Answer 1

man überprüft dies eigentlich nicht durch Zeichnen. Eher verwendet man die mathematischen Definitionen, wie sonst auch.

Übrigens ist eine Funktion genau dann bijektiv, wenn eine Umkehrabbildung existiert. Durch Angabe dieser kannst du also direkt die Bijektivität zeigen. In diesem Fall wäre es:

$$ f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f^{-1}(y) = \frac{y-1}{5} $$

Gruß