Gleichheit zeigen (Induktion?), Summe XY = TERM XY

Question

Zeige für alle j ∈ ℕ0

Ich sitze gerade an obiger Aufgabe.

Ich würde einen Induktionsbeweis versuchen, indem ich obige Aufgabe als IV verwende und im IS die Terme so umformen, dass sich mit einsetzen der IV anschließend auf beiden Seite ein Großteil wegkürzt, sodass die Gleichheit offensichtlich wird. Leider scheitere ich total daran.

Answer 1

Ersetze j durxh j+1 . Nimm also die Summe bis j und bedenke

= summe bis j-1 + Summand für j      #

allerdings sind in der  summe bis j-1 die

Summanden jetzt 2 ^k-1 * ( j+1 - k ) denn das j muss ja durch

j+1 ersetzt werden.   Aber du kannst sie aufteilen in

die Summe mit den alten Summanden  + Summe über 2 ^k-1 

Die 1. Summe nach Ind.vor, bekannt, die zweite eine geo.Reihe

zusammen also

2^j - ( j+1)  +  2^j - 1

Jetzt kommt noch der Summand für j dazu ( s.o # )

= 2^j - ( j+1)  + 2^j-1 - 1   +   2 ^j-1  * ( j+1 - j )

= 2^j - ( j+1)  + 2^j-1 - 1   +   2 ^j-1 

= 2^j -  j - 1 - 1  + 2*2^j-1

= 2^j - ( j+2)  + 2*2^j-1

= 2^j - ( j+2)  + 2^j

= 2^j+1 - ( j+2) 

Und das ist die rechte Seite für  j+1 .