Brauche Hilfe beim Induktionsbeweis

Question

Sei n ∈ℕ ohne 0 gerade. Beweise:

n! ≥ (n / 2)^{(n / 2)}

Induktionsanfang für n = 2

2! ≥ 1 → 2≥1

Induktionsschritt: n→n+1

(n+1)! = n! * (n+1)

Induktionsvoraussetzung: n! ≥ (n / 2)^{(n / 2)}

(n+1)! ≥ (n / 2)^{(n / 2)} * (n+1)

≥  (n / 2)^{(n / 2)} * 2 * ((n+1)/2)

Ab hier bin ich nicht wirklich weiter gekommen. Ich hab diverse Umformungen versucht die aber letzten endlich zu nichts geführt haben.

Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

Comments

ich habe es mal mit dem Ansatz versucht n = 2k zu setzen und dann für k=1 zu starten. Die Problematik ist ja auch bei Deinem Ansatz, dass n nicht um 1 sondern um 2 bei jedem Schritt erhöht werden müsste. Die ungeraden Zahlen sollen ja übersprungen werden.

Ich komme bis

(2k)! (4k+2) >= (k+1)^k

und meine Voraussetzung ist (2k)! >=k^k

Answer 1

Gesucht Beweis

$$ n! \geq (\frac{n}{2})^\frac{n}{2} \quad \text{mit} \quad n \in ℕ \quad \text{und n gerade}$$

setze

$$n=2k \quad \text{mit} \quad k \in ℕ $$

Induktionsvoraussetzung

$$ (2k)! \geq k^k $$

Induktionsanfang k=1

$$ (2*1)! \geq 1^1 $$

$$ 2 \geq 1 $$

Induktionsschritt k→k+1

$$ (2(k+1))! =(2k+2))! = (2k)!(2k+2)(2k+1)= (2k)! 2(k+1)(2k+1) $$

nach InduktionsVoraussetzung

$$ (2k)! 2(k+1)(2k+1) \geq k^k2(k+1)(2k+1) $$

Zu zeigen

$$ k^k2(k+1)(2k+1)\geq (k+1)^{k+1} $$

$$ k^k2(2k+1)\geq (k+1)^k $$

$$ 4k+2\geq (\frac{k+1}{k})^k $$

$$ 4k+2\geq (1+\frac{1}{k})^k $$

$$4k+2 > e \geq (1+\frac{1}{k})^k $$

Der linke Teil ist für alle k>= 1 immer grösser der Eulerschen Zahl e und der rechte Teil ist immer kleiner der Eulerschen Zahl und hat den limes k → ∞ gleich e.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob der letzte Teil des Beweises so genügend ausformuliert ist.

~plot~ f(x)= (1+1/x)^x ~plot~