Definition lineare Abbildung

Question

Eine Definition besagt :

Sei V ein n-dimensionaler K-VR , {a1,...,an} eine Basis von V, W ein weiterer K-VR . Dann gibt es zu vorgegebenen Elementen b1,....,bn in W genau eine lineare Abbldung v : V-> W mit

v(ai) = bi  (1 <= i <= n)

Kann mir das jemand beweisen oder zeigen ? Ein Beispiel wäre auch nicht schlecht ,, danke .

Answer 1

1) Für die Existenz musst du nur die konkrete Abbildung angeben. Denke an Darstellungsmatrix.

2) Für die Eindeutigkeit: Nehme an es gäbe ein Abbildung $w$, die die obige Eigenschaft erfüllt und zeige mit der Linearität beider Abbildungen, dass sie identisch sind. Nutze dazu, dass jeder Vektor $a \in V$ als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann.

Gruß