Definition lineare Abbildung

Question

Eine Definition besagt :

Sei V ein n-dimensionaler K-VR , {a1,...,an} eine Basis von V, W ein weiterer K-VR . Dann gibt es zu vorgegebenen Elementen b1,....,bn in W genau eine lineare Abbldung v : V-> W mit

v(ai) = bi  (1 <= i <= n)

Kann mir das jemand beweisen oder zeigen ? Ein Beispiel wäre auch nicht schlecht ,, danke .

Answer 1

1) Für die Existenz musst du nur die konkrete Abbildung angeben. Denke an Darstellungsmatrix.

2) Für die Eindeutigkeit: Nehme an es gäbe ein Abbildung \(w\), die die obige Eigenschaft erfüllt und zeige mit der Linearität beider Abbildungen, dass sie identisch sind. Nutze dazu, dass jeder Vektor \(a \in V\) als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann.

Gruß